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Wie kann ich eine Basis von Kern(f) bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: basis, Kern, Linear Abbildung

M4cM4rco aktiv_icon

22:41 Uhr, 04.05.2023

Angabe:
Seien V und W Vektorräume über R. Sei

v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}

eine Basis

B

von

V

, und sei

w_{1}, w_{2}, w_{3}

eine Basis

B'

von

W

. Sei

f : V \to W

eine lineare Abbildung mit:

B' M_{B} (f) = (\begin{array}{rcl} 2 & - 1 & 3 & 4 \\ - 1 & 6 & 4 & 9 \\ 5 & - 12 & - 2 & - 9 \end{array})

Seien

(\begin{array}{rcl} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})

die Koordinatenvektoren von Vektoren

x, y \in V

bezüglich der Basis

B

.

Aufgabe:
1. Bestimmen Sie eine Basis von

K e r n (f)

.
2. Wie lauten die Koordinatenvektoren von

f (x)

und

f (y)

bezüglich der Basis

B'

?

Problem:
Seit mehreren Stunden komme ich überhaupt nicht weiter, alle meine Ansätze führen ins Leere oder ergeben keinen Sinn (wenn ich das jetzt überhaupt noch beurteilen kann).
Daher bete ich euch um eine - im Gegensatz zum Skript - sehr ausführliche Beschreibung, wie man diese Aufgabe lösen kann.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

michaL aktiv_icon

23:03 Uhr, 04.05.2023

Hallo,

dass du den Kern der Matrix bestimmen musst für 1., ist dir klar?
Und wie man ein unterbestimmtes LGS löst, ist dir bekannt?

(Das bereitet vielen Neulingen Probleme.)

2. erscheint mir trivial. Du musst einfach

_{B ʹ} M_{B} (f)

mit dem Koordinatenvektor von

x

bzgl.

B

multiplizieren.

Ich verstehe

_{B ʹ} M_{B} (f)

jedenfalls als Abbildungsmatrix, mit der man einen Koordinatenvektor

v

bzgl.

B

multipliziert und als Ergebnis einen Koordinatenvektor bzgl.

B ʹ

von

f (v)

erhält.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

00:05 Uhr, 05.05.2023

Ich geb mal den Kern der Abbildungsmatrix, heiße sie

A,

an,

der Kern von

f

sind dann die entsprechenden Linearkombinationen von

B

(\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 & 4 \\ - 1 & 6 & 4 & 9 \\ 5 & - 12 & - 2 & - 9 \end{matrix})

\approx \approx > (\begin{matrix} 0 & 11 & 11 & 22 \\ - 1 & 6 & 4 & 9 \\ 0 & 18 & 18 & 36 \end{matrix})

\approx \approx > (\begin{matrix} 0 & 11 & 11 & 22 \\ - 1 & 6 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

\approx \approx > K e r n (A) = {λ_{1} \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ_{2} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \in R^{4} : λ_{1}, λ_{2} \in R}

M4cM4rco aktiv_icon

15:01 Uhr, 05.05.2023

Hallo michaL und KartoffelKäfer,

vielen Dank für eure Unterstützung.

1. Aufgabe (Bestimmen Sie eine Basis von

K e r n (f)

):
Ist nun für mich lösbar, nachdem KartoffelKäfer mir den Kern angegeben hat:

(\begin{array}{rcl} - 3 & - 2 & 0 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 & 0 \end{array})

in die Treppennormalform

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & - 2 \end{array})

Und die Basis

B = {(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array}); (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})}

Mir ist allerdings noch immer unklar, wie du auf den Kern gekommen bist.
Mein Ansatz wäre gewesen folgendes LGS zu lösen:

I . 1 x_{2} + 1 x_{3} + 2 x_{4} = 0

I I . - 1 x_{1} + 6 x_{2} + 4 x_{3} + 9 x_{4} = 0

Meine Versuche sind alle daran gescheitert und es scheint, dass ich hier eine Wissenslücke hätte. Könntest du mir das Vorgehen Schritt für Schritt aufzeigen? Ich wäre dafür sehr dankbar, da das Internet hier nicht sehr hilfreich ist.

2. Aufgabe hat sich dank michaL erledigt

michaL aktiv_icon

16:10 Uhr, 05.05.2023

Hallo,

sieht sehr danach aus, als wissest du nicht, wie man ein unterbestimmtes LGS löst.

Betrachte das letztlich reduzierte LGS (aus der Zeilenstufenform):

a + 2 c + 3 d = 0

b + c + 2 d = 0

(Nullzeile fortgelassen)

Du hast 4 Variablen, aber nur 2 Gleichungen.
Wie man an der reduzierten Zeilenstufenform erkennen kann, kannst du

c

und

d

unabhängig voneinander und beliebig wählen und kannst trotzdem immer dafür sorgen, dass das LGS lösbar ist, indem du

a

und

b

passend zu den Werten von

c

und

d

berechnest.

Durch die Wahlmöglichkeiten von 2 Variablen liegt es nahe anzunehmen, dass der Kern dann zweidimensional sein wird.
(Hier steckt schon etwas dahinter, was man sich klarmachen sollte!)

Es geht also nur noch darum, zwei linear unabhängige Lösungen dieses LGS zu finden.
Das kann man bei nur kleiner Dimension (hier 2) natürlich einfach durch probieren erledigen.
Systematisch geht es so, dass du einmal die Kombination

c = 0

d = 1

und das andere Mal

c = 1

d = 0

wählst.

Hier wäre es nun schlau zu überlegen, warum diese Vorgehensweise sicher zu linear unabhängigen Vektoren führen wird.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

17:49 Uhr, 05.05.2023

Gaußsches Eliminationsverfahren. Musst Du lesen Lehrwerk

(z . B

. Fischers LinA

1)

kommst Du nicht drumrum, wenn Du in LinA irgendwohin willst.

Der Kern, den ich oben angebe, ist ja nur der der Matrix,
die ich A benannte (also einer linearen Abbildung

R^{4} \to R^{3})

.
Der Kern von

f

ist

s p a n (- 3 v_{1} - 2 v_{2} + v_{4}, - 2 v_{1} - v_{2} + v_{3}) \subset V!

M4cM4rco aktiv_icon

19:16 Uhr, 05.05.2023

Hallo zusammen,

@Michael danke für deine Erklärung!
So hat KartoffelKäfer einfach den festen Wert

λ_{1}

für

d

und

λ_{2}

für

c

vergeben und dann gilt:

a = - 2 λ_{2} - 3 λ_{1}

b = - 1 λ_{2} - 2 λ_{1}

c = 1 λ_{2}

d = 1 λ_{1}

Das ergibt jetzt auch Sinn.
Die Dimension des Kerns hätte ich dann schlussfolgernd auch davor von der Matrix (nach Gauss Verfahren) ablesen können, indem ich einfach die Spalten zähle, welche keine Pivot-Positionen, also wählbaren Variablen, haben. Richtig?

@KartoffelKäfer, danke für deine Verbesserung, damit sollte auch dieser Punkt geklärt sein.

Ich danke euch beiden sehr und wünsche euch noch ein schönes erholsames Wochenende :-)

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