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Winkelfunktion: Tageslängen berechnen

Schüler Sonstige,

Tags: Sinusfunktion, Winkelfunktion

IvaDenis aktiv_icon

14:27 Uhr, 06.09.2020

Aufgabe:

In der Tabelle sind die Tageslängen in Wien aus dem Jahr

2014

zu verschiedenen Zeiten dargestellt.
DatumTage seit JahresbeginnTageslänge in Stunden

21.1 .

21

21.3

80

12,2

21.12

355

8,3

Die Funktion

L

mit

L (t) = 3,875 \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{365}) \cdot (t - 80) + 12,21

modelliert die Tageslängen in Stunden. Die Variable

t

gibt die Anzahl der vergangenen Tage seit Jahresbeginn an.

a)

Berechne die Tageslängen am

21.1 ., 21.3

. und

21.12

. mit Hilfe der Funktion

L (t)

. Vergleiche deine Ergebnisse mit den Daten in der Tabelle.

b)

Verwende die Eigenschaften der Sinusfunktion und berechne damit, an welchem Datum die Tageslänge am größten ist. Gib auch die Tageslängen an.

c)

Die Tage, an denen der Tag und die Nacht gleich lang sind, nennt man Äquinoktien. Berechne die beiden Tage laut diesem Modell.

Meine Rechnung und Ansätze:

Mein Ansatz: Taschenrechner auf Radiant umstellen

a)Leicht: Nur werte Einsetzen: L(21)=8,92≈9, L(80)=12,21≈12,2, L(355)=8,34≈8,3

b)

Wenn wir im Sinus-Teil

80

einsetzen erhalten wir

0 - \to 80

Tage = Nullstelle
Nullstelle

+ \frac{π}{2}

um auf den Maximumwert zu kommen.

Wir teilen unseren Kreis durch

4 : \frac{365}{4} = 91,25 - \to

π/2

80 + 91,25 =

170,25°

- \to

170er Tag ist der

19

Juni. Da aber durch

0,25

der nächste Tag beginnt, ist das Ergebnis der

20

Juni.

- \to

Eingesetzt in die Formel:

16,08

Stunden

c)

Tag und Nacht sind gleich lang als je

12 h

12 =

3,875*sin((2*π)/365)*(t-80)+12,21

- \to

umgeformt kommt

76,85 - \to 18

März

Mein Ansatz:

Ich dachte zuerst einfach

76,85 + 182,5

(wegen

91,25 = \frac{π}{2} \cdot 2)

.
Kommt aber

13,86

heraus .. das stimmt nicht laut Lösungsbuch.

Ich weiß dass:

sin (76,85) = 0,992 \to 1

ist.

Also dachte ich:

sin (- 76,85) = - 0,992 \to 1 - \to

Geht aber nicht aufgrund der Verteilung der verschiedenen Tage im Jahr.

Egal was ich hier versuche: Ich komme nicht auf das richtige zweite Ergebnis.
Es soll der

23

. September laut Lösungsbuch sein.

Das wir den "Jahreskreis" aufgrund der Monate nicht gleichmäßig durch 4 teilen können (Februar, Juli, August), weiß ich nicht wie ich auf den zweiten Tag komme. Muss ich alles genau zählen?...aber das kann doch nicht sein, es muss doch eine einfachere Methode geben?

Kann mir hier bitte jemand einen Lösungsweg zeigen. Ich sitze seit 3 Tagen daran und verzweifle.

LG
IvaDenis

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Sinus- und Kosinusfunktion

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