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begrenztes Wachstum e-Funktion: Ermittlung von k
Schüler
Tags: begrenztes Wachstum, e-Funktion, Wachstumsprozess
 
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Hallo, in meinem Schulbuch (EdM Niedersachsen, S. steht eine Musteraufgabe inkl. Lösung zum begrenzten Wachstum. Die Aufgabe lautet (sinngemäß): 80° warmer Kaffee kühlt bei Zimmertemperatur (=20° ab. Abkühlung pro Minute der noch vorhandenen Temperaturdifferenz zur Raumtemperatur. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, der den Abkühlungsprozess beschreibt. Mein Ansatz ist: Damit erhalte ich: oder als e-Funktion: Das Schulbuch führt jedoch zu der folgenden Funktion: Hier wurde offensichtlich die 15%-Abnahme direkt als Proportionalitätsfaktor übernommen. Warum das? Ich bekomme zwar ganz ähnliche Ergebnisse in den weiteren Berechnungen, aber ich verstehe nicht, warum hier im Exponenten von steht. Das Buch schreibt als Erklärung: "Die Abkühlungsgeschwindigkeit ist proportional zur Differenz zwischen Kaffee-Temperatur und Raumtemperatur, also zu 60*e^kt mit dem Proportionalitätsfaktor . Wo liegt in meiner Lösung der Denkfehler? Auch andere Aufgaben in dem Buch wurden so ähnlich gelöst. Ich habe aber andere Übungsaufgaben im Internet gefunden, wo es genau so gelöst wird, wie ich es gemacht habe. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen und diese Diskrepanz erklären? Vielen Dank! Ralf Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Ich versuchs mal... Die Abnahme beträgt der Differenz zwischen Momentantemperatur und Raumtemperatur. Die Abnahme ist die Änderungsrate, also...die erste Ableitung. Damit hast du allgemein mit S=Schranke und k=Proportionalitätsfaktor also eine Differentialgleichung. Allgemeine Lösung lautet: mit Dein Denkfehler ist, dass du mit wiederholt von der START-Differenz abziehst und nicht von der MOMENTANEN Differenz, also von . Schau dir Beispiele zu Differentialgleichung und begrenzte Zu-/Abnahme an. |
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Hallo und danke für die Antwort! Das was Du sagst klingt logisch :-) Dann scheint mir das Buch einen Streich gespielt zu haben, denn wenn es sich um eine Differentialgleichung handelt, dann wäre das in Niedersachsen "erhöhtes Niveau", was ich gar nicht lernen muss (das Buch kennzeichnet sonst Inhalte des erhöhten Niveaus). Deshalb habe ich noch in meinem Mathebuch (des gleichen Verlags) aus der . Klasse nachgesehen. Dort wird ebenfalls begrenztes Wachstum behandelt. Für mich scheint die Aufgabenstellung (siehe Anhang) sehr ähnlich. Dort wird dann der Lösungsweg gewählt, den ich auch zuerst im Sinn hatte. Ist das eine Reduzierung des Stoffs für 10-Klässler, oder habe ich da einen Unterschied in der Fragestellung übersehen? Vielen Dank nochmal für alle Antworten! Ralf   |
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Bei der Aufgabe aus der . wird die Temperaturdifferenz zu BEGINN der jeweils betrachteten Minute herangezogen. Bei deiner Aufgabe geht es um die Differenz in jedem Zeitpunkt, also um die MOMENTANE Änderungsrate. Ich kenne das Buch und meine mich daran zu erinnern, dass der Zusammenhang mit der Differentialgleichung eine oder zwei Seiten später auch beschrieben wird. Du musst wohl auf gN die Dinger nicht lösen können, aber das Grundschema, also die allgemeine Lösung dieses einen Typs solltest du dir merken. Musst ja immer nur entsprechend und einsetzen... Ich glaube, das wurde in den Klausuren öfters mal verlangt. Da hatte sich bei mir doch ein Fehler eingeschlichen: allg. Lösung ist |
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Super! Vielen Dank nochmal für Deine Hilfe. Hat mir wirklich geholfen. Gruß Ralf |
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