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beschränkte Mengen beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beschränktheit, Beweis, Menge

 
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linchen29

linchen29 aktiv_icon

12:52 Uhr, 30.10.2021

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Hallo, ich sitze gerade an meiner Mathe I Aufgabe.
Ich komme aber nicht weiter... hat vllt jemand einen Ansatz oder Lösungsweg für folgende Aufgabe:

Es seien C,D ⊆ R zwei nicht-leere, nach unten beschränkte Mengen. Beweisen Sie:
(i) (3 Punkte) Die Menge C ∪ D ist nach unten beschränkt.
(ii) (3 Punkte) Es gilt inf(C ∪ D)= min(inf(C),inf(D))

Danke ;-)



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:04 Uhr, 30.10.2021

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i) ist absolut elementar. Es gibt a und b, so dass x≥a für alle x aus C und x≥b für alle x aus D. Damit gilt x≥min(a,b) für alle x aus C∪D. Womit C∪D nach unten beschränkt ist.

ii) versuch jetzt selber, du kann hier i) nutzen. Sonst brauchst du nur die Definition von inf.
linchen29

linchen29 aktiv_icon

13:50 Uhr, 31.10.2021

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Danke. Woher kenne ich die Definition für inf? Und wie gehe ich dann weiter vor?
linchen29

linchen29 aktiv_icon

13:50 Uhr, 31.10.2021

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Danke. Woher kenne ich die Definition für inf? Und wie gehe ich dann weiter vor?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:35 Uhr, 31.10.2021

Antworten
"Woher kenne ich die Definition für inf?"

Aus der Vorlesung. Oder aus dem Internet.
Z.B. de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum

"Und wie gehe ich dann weiter vor?"

Du versuchst die Definition zu nutzen.
Ich kann es lösen, sehr einfach für mich, aber es wäre hilfreicher für dich, wenn du irgendwas selbst versuchen würdest.
linchen29

linchen29 aktiv_icon

15:06 Uhr, 31.10.2021

Antworten
Ich habe es Mal versucht:

inf(C UD)= min(Inf(C),Inf(D))
a,b
x= inf(a) für alle x aus C und
x= Inf(b) für alle x aus D
Dann gilt:
x= min(Inf(a), Inf(b) für alle x aus Inf(C UD)
-→ damit ist Inf(C UD)= min(Inf(C), Inf(D)

Stimmt das so?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:07 Uhr, 31.10.2021

Antworten
Das ist leider Kauderwelsch bei dir, es ist absolut unklar, was du überhaupt sagen willst.
Und du benutzt nirgendwo die Definition von inf.

Nun gut, du brauchst wohl die Lösung. Das geht so.
Man braucht hier diese Eigenschaft von inf, die bekannt sein dürfte (ansonsten ist sie leicht zu beweisen): A⊂B => inf(B)≤inf(A).

Erstens, wie zeigen, dass inf(C∪D)≤min(inf(C),inf(D)).
Da C⊂C∪D, folgt nach gerade gesagtem inf(C∪D)≤inf(C).
Genauso D⊂C∪D, woraus wiederum folgt inf(C∪D)≤inf(D).
Beides zusammen ergibt dann inf(C∪D)≤min(inf(C),inf(D)).

Jetzt muss noch gezeigt, dass auch umgekehrt min(inf(C),inf(D))≤inf(C∪D) gilt.
Angenommen, diese Ungleichung wäre falsch. Dann hätten wir min(inf(C),inf(D))>inf(C∪D). Daraus würde folgen inf(C)>inf(C∪D) und inf(D)>inf(C∪D). Nach Definition von inf würde ein x aus C∪D existieren, so dass x<inf(C) und x<inf(D). Da x in C∪D, muss x∈C oder x∈D gelten. Wenn x∈C, dann kann x<inf(C) nicht sein, und wenn x∈D, dann ist x<inf(D) falsch. In beiden Fällen bekommen wir einen Widerspruch, der zeigt, dass unsere Annahme falsch war. Damit ist min(inf(C),inf(D))≤inf(C∪D) bewiesen, was den kompletten Beweis beendet.
Frage beantwortet
linchen29

linchen29 aktiv_icon

07:10 Uhr, 01.11.2021

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Danke