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Beweis der Regeln von de Morgan

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Beweis, de Morgan, Gesetz, mengen, Mengenlehre

Pinky aktiv_icon

21:48 Uhr, 18.10.2009

Ich soll beweisen:

1. A \ (B u C) = (A \ B) n (A \ C)
2. A \ (B n C) = (A \ B) u (A \ C)

u = Bogen nach oben offen
n = Bogen nach unten offen

Und ich habe ehrlich gesagt Null Plan. :-(
Diese Mengen habe ich nie wirklich begriffen, glaube ich...

Ich kann mir das zwar noch ins deutsche übersetzen, dann hörts aber auch schon auf:
1. x ist Element von A nicht von B oder C, ist gleich, x ist Element von A nicht von B und x ist Element von A nicht von C.

2. x ist Element von A nicht von B und C, ist gleich, x ist Element von A nicht von B oder x ist Element von A nicht von C.

Es wäre sehr schön, wenn mir jemand das mal grundlegend erklären könnte, damit ich es das nächste Mal selber kann. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

BjBot aktiv_icon

22:02 Uhr, 18.10.2009

Schau mal hier, dasselbe war in abgewandelter Form gestern auch schon da.
Übrigens mit demselben Titel und Irrtum, Zufall ?

http//www.onlinemathe.de/forum/Beweis-der-Regeln-von-de-Morgan

Pinky aktiv_icon

00:20 Uhr, 19.10.2009

Muss Zufall sein obwohl wir beide aus Hessen kommen :-)

Ich verstehe einfach nicht was man da beweisen soll, also wie.

Mag mir das denn niemand mal ganz einfach (verständlich für Dummies) erklären?

HP7289 aktiv_icon

00:46 Uhr, 19.10.2009

Ich beweise die erste Aussage und dafür machst du die zweite analog.

Also sei

x \in A \ (B ⋃ C)

\Leftrightarrow x \in A \land x \notin (B ⋃ C)

\Leftrightarrow x \in A \land x \notin B \land x \notin C

\Leftrightarrow x \in A \land x \notin B \land x \in A \land x \notin C

\Leftrightarrow x \in A \ B \land x \in A \ C

\Leftrightarrow x \in (A \ B) ⋂ (A \ C)

0xFFF aktiv_icon

06:34 Uhr, 19.10.2009

warscheinlich hast du die elemente von

A, B

und

C

vorgegeben.

beweisen kannst du dies auch rechnerisch, wenn du dir einfach ein Beispiel dazu ausdenkst!

es gelte: ( beispiel )

A = {5, 6, 8}

B = {3, 5, 7, 8}

C = {4, 5, 6, 8}

\= ohne

\cap =

geschnitten mit ( Schnittmenge )

⋃ =

vereinigt

nun stellen wir uns das mal anschaulich vor

:)

.

1. A\(B

⋃ C) = {5, 6, 8

}

\({

3, 5, 7, 8} ⋃ {4, 5, 6, 8})

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

B \cup C

in klammern steht, wird der ausdruck zuerst vereinigt.
vereinigen, also

⋃

funktioniert folgendermaßen:

A = {1, 3} ⋃ B = {5, 6}

A \cup B = {1, 3, 5, 6}

du vereinigst die elemente der Mengen A und

B

zu "einer" Menge.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

nun der nächste ausdruck A\(

B ⋃ C),

also:
A ohne

(B

vereinigt mit

C)

folgendes Beispiel:

A = {3, 5, 6}

ohne

(B ⋃ C = {3, 4, 6})

Also die Elemente der Menge A ohne die Elemente der Mengen

B

vereinigt mit

C

A\(B

⋃ C) = {5}

wie du siehst schneiden sich die Elemente

{3}

und

{6},

also entfallen diese auch bei

A,

da es ja heißt "ohne".

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

und jetzt zum stichwort

⋂ -

geschnitten mit ( Schnittmenge )

A \cap B : (

Beispiel )

A = {1, 2, 3, 4} ⋂ B = {2, 3, 5, 6}

es schneiden sich die elemente

{2, 3},

da sie in beiden Mengen enthalten sind!

d . h

A ⋂ B = {2, 3}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ich hoffe ich konnte dir einigermaßen helfen, was es mit den ganzen Mengenoperatoren auf sich hat!

probier einfach auf einem blatt papier rum

A ⋂ B

oder

A ⋃ B

oder A ohne

B

und denke dir die elemente der mengen einfach aus. so verinnerlichst du die operatoren

⋂ ⋃

\ und wirst außerdem sicher mit dem umgang!

:)

.

danach ist der satz von de morgan kein problem mehr!

Pinky aktiv_icon

20:53 Uhr, 19.10.2009

Danke!
Eure Antworten haben mir beim überfliegen schon sehr geholfen. Ich denke ich werde es mit eurer Hilfe schaffen. Mittwoch werde ich mich dran machen, alles nachzuarbeiten und meine Lösung hier einstellen, damit ihr sehen könnt, dass nicht alles für die Katz war ;-)

Aber heute bin ich zu müde... gerade erst aus der Uni gekommen und morgen bin ich auch wieder von 5.00 - 19.45 unterwegs... und bringe bestimmt gleich neue Mathematische Probleme mit... Ich hoffe mal das ich mich mit L3 Mathe und Chemie nicht übernommen hab... :-(

Pinky aktiv_icon

14:58 Uhr, 21.10.2009

Beweis das A\(B⋂C) = (A\B)⋃(A\C)

x∈A\(B⋂C)

⇔x∈A und x∉(B⋂C)

⇔x∈A und (x∉B oder x∉C)

⇔(x∈A und x∉B) oder (x∈A und x∉C)

⇔x∈A\B oder x∈A\C

⇔x∈(A\B)⋃(A\C)

Ist das jetzt so richtig?

Muss jetzt aber auch gestehen, das ich es ohne die erste Aussage von HP7928 nicht geschafft hätte überhaupt was aufs Blatt zu bekommen. Mir fehlt einfach der Schritt wie ich darauf komme es genau so zu machen. Der Anfang und das Ende stehen ja schon fest.

0xFFF hat mir auch sehr geholfen. Durch die Zahlen habe ich das jetzt erst kapiert und verstehe jetzt besser, was es mit den Mengen auf sich hat. Sehr großes dankeschön für die Mühe die du dir gemacht hast. :-)

HP7289 aktiv_icon

15:22 Uhr, 21.10.2009

Das ist richtig so.

Kleiner Tipp: Beweisen lernt man nur durch Übung. :-)

Pinky aktiv_icon

15:52 Uhr, 21.10.2009

Super. Ich freu mich voll. Auch wenns nur "nachmachen" war. Aber ich glaube ich werde euch in Zukunft noch öfter nerven :-P)

Eine kleine Frage hab ich allerdings noch zu den Mengen.

Welche Menge hat die Menge (Großes

U) k = 1

bis unendlich von A index

k

mit

Ak

:= {- k, - (k - 1), ...,0,1,2,3, ...}

?

Ich würde sagen das bedeutet doch ganz einfach nur Ak =

{

ganze Zahlen} oder?
Danke schonmal im vorraus.

HP7289 aktiv_icon

15:58 Uhr, 21.10.2009

Ja, das ist richtig.

⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k} = ℤ

Pinky aktiv_icon

17:12 Uhr, 21.10.2009

Dankeschön! :-)

Light Yagami aktiv_icon

22:45 Uhr, 18.10.2012

Hallo, ich weiß das Thema ist alt und schon beendet, jedoch passt es zu meiner Aufgabe und ein extra Thema zu eröffnen wäre auch Quatsch.

Ich will auch nur folgenden Schritt nachfragen.

x∈A ^ x nicht ∈ (B⋃C)
äquivalent x∈A ^ x nicht ∈ B ^ x nicht ∈C

Wieso kann ich hier U äquivalent ^ setzen?

Ich dachte immer ^ äquivalent n und v äquivalent u

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