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bild und basis einer matrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: basis., Bild, Matrix

dergottogondo aktiv_icon

13:48 Uhr, 24.11.2012

servus! hab ein kleines problemchen: ich habe nicht ganz verstanden wie man das bild un die basis einer matrix berrechnet! aus den folien werde ich kein stückchen schlauer genauso wenig wie aus unzähligen interneteinträgen.... meine aufgabe besteht darin die basis des bilds von A anzugeben, wobei A eine gegebene matrix ist:

A = (1011,2022,1110)

(zeilenweise angegeben, also 3 zeilen

& 4

spalten)! ich sollte auch den rang bestimmen, aber das ist ja relativ einfach:

r \leq min {m, n},

also

r \leq min {3,4}

ist dann doch 3 oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

dergottogondo aktiv_icon

16:04 Uhr, 24.11.2012

wirklich niemand ne idee?

dergottogondo aktiv_icon

16:54 Uhr, 24.11.2012

ich glaube das bild habe ich jetzt! ist das: Bild (A)

= {(1,2,1), (0,0,1), (1,2,0)}

? angeblich ist das bild ja die menge der nicht linear abhängigen spaltvektoren! und das müssten dann ja die 3 sein! kann mir irgendjemand sagen ob das stimmt, und wenn ja, wie ich daraus jetzt die basis bekomme?

pwmeyer aktiv_icon

17:48 Uhr, 24.11.2012

Hallo,

schlage zunächst einmal zu Deiner ersten Frage in Deinem Skript den Begriff "Rang" nach; dann wirst Du sehen, dass diese Frage mit der Frage nach der Basis des Bildes zusammenhängt.

Was Deine zweite Frage angeht: Die 3 Vektoren

(1,2,1), (0,0,1), (1,2,0)

sind linear abhängig, weil:

1 \cdot (1,2,1) + (- 1) \cdot (0,0,1) + (- 1) \cdot (1,2,0) = (0,0,0)

Es hängt von Eurer Vorlesung / Übung ab, ob diese Frage jetzt durch Ausprobieren geklärt werden soll, oder systematisch - etwa durch den Gauss-Algorithmus.

Gruß pwm

dergottogondo aktiv_icon

17:59 Uhr, 24.11.2012

natürlich eher durch den gauß algorithmus! wenn ich den anwede, komme ich auf:

(1011), (010 - 1), (0000)

(müßte doch stimmen!?) die frage des ranges habe ich durch gauß auch rausgefunden, der rang ist dann 2: die summe der zeilen die keine null-zeile sind! als nächstes müsste ich das bild dieser matrix bestimmen: wie kann ich dass denn tun, nachdem ich gauß angewendet habe?

pwmeyer aktiv_icon

19:50 Uhr, 24.11.2012

Hallo,

Du musst herausfinden, welch Spalten eine Basis bilden, also linear unabhängig sind. Das sind, wie man dem Gauss-Schema entnimmt,

z . b

. die ersten beiden.

Gruß pwm

dergottogondo aktiv_icon

01:46 Uhr, 25.11.2012

linear unabhängige spalten finden WOFÜR? also die ersten beiden spalten

(1,0,0)

und

(0,1,0)

sind ja linear unabhängig, aber was habe ich davon oder was mache ich jetzt mit diesen?

pwmeyer aktiv_icon

06:53 Uhr, 25.11.2012

Hallo,

bild(A) ist die Menge aller Vektoren der Form

A \cdot x

mit

x \in ℝ^{4},

also alle Linearkombinationen, die sich aus den Spalten von A bilden lassen. Aus dem Gauss-Algorithmus geht hervor, dass die beiden ersten Spalten von A für diesen Raum eine Basis bilden.

Gruß pwm

dergottogondo aktiv_icon

12:21 Uhr, 25.11.2012

ok, dann müssten ja die vektoren

(1,0,0)

und

(0,1,0)

richtig sein, aber: 1. wieso

R^{4}

? und 2. wenns

R^{4}

ist, dann müssten diese vektoren ja auch aus 4 tupeln bestehen, aber ich habe doch nur 3 spalten!? und wofür brauche ich eigentlich den Rang den ich am anfang ausgerechnet habe?

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