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cos und sin im Kopf ausrechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Trigonometrie

Mond12 aktiv_icon

13:41 Uhr, 29.01.2017

Hallo zusammen,

ich habe mal eine ganz grundlegende Frage. Wie kann man

z . B

cos (- \frac{π}{4})

im Kopf berechnen?

Gibt es da einen Vorgang, wie ich solche Terme im Kopf ausrechnen kann?

LG
Mond12

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

mathdeep aktiv_icon

13:56 Uhr, 29.01.2017

hallo Mond,
es gibt auch für sin und

cos

Formeln.

sin x = \frac{e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x}}{2 i}

cos x = \frac{e^{i \cdot x} + e^{- i \cdot x}}{2}

i

ist dabei die imaginäre Einheit, für die gilt

i^{2} = - 1,

und

e

ist die eulersche zahl

e = 2,71828 ... .

. mit diesen Formeln kann man

sin x

und

cos x

ziemlich gut ausrechnen, man muss aber wissen wie man damit zu rechnen hat.
so ist zb

sin (\frac{π}{2}) = \frac{e^{i \cdot \frac{π}{2}} - e^{- i \cdot \frac{π}{2}}}{2 i} = \frac{i - (- i)}{2 i} = \frac{2 i}{2 i} = 1

lg
PS: das muss man nicht wirklich verstehen, es sei denn du willst mathe studieren. bei fragen, helf ich gern weiter

mathdeep aktiv_icon

14:06 Uhr, 29.01.2017

ach und zu deinem bsp. auch wenn es sehr unschöne zahlen sind:

cos (- \frac{π}{4}) = \frac{e^{- i \cdot \frac{π}{4}} + e^{i \cdot \frac{π}{4}}}{2}

dann müsste man wissen (oder halt vorstellen, aber da braucht man bissl kenntniss) , dass

e^{- i \cdot \frac{π}{4}}

im einheitskreis so irgendwo bei etwa

0,7 - 0,7 i

liegt und e^(i*pi/4)bei

0,7 + 0,7 i

also ergibt sich

cos (\frac{π}{4}) = \frac{0,7 - 0,7 i + 0,7 + 0,7 i}{2} = \frac{0,7 + 0,7}{2} = 0,7

mihisu aktiv_icon

15:07 Uhr, 29.01.2017

Zunächst einmal solltest du dir folgende Werte merken:

sin (0) = 0

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

sin (\frac{π}{2}) = 1

cos (0) = 1

cos (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{2}) = 0

Das sind die Werte, von denen üblicherweise erwartet wird, dass man sie kennt.
Die kann man einfach auswendig lernen. Ich gebe dir im folgenden Abschnitt ein paar Merkhilfen. (Mit ein wenig Übung, wenn man die Werte öfter braucht, weiß man die Werte zunehmend auswendig, und braucht die Merkhilfen immer weniger.)

\\\\

Merke dir die Winkel, in der entsprechenden Reihenfolge:

0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}

Wenn du dabei Schwierigkeiten hast, kann man sich das auch so merken:

Man hat die Vielfachen von

\frac{π}{6} (= 30^{\circ})

bis

\frac{π}{2} (= 90^{\circ}) :

0 \cdot \frac{π}{6}, 1 \cdot \frac{π}{6}, 2 \cdot \frac{π}{6}, 3 \cdot \frac{π}{6}

0, \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}

Dann nimmt schreibt man noch

\frac{π}{4} (= 45^{\circ})

dazwischen:

0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}

\\

Dann kann man diesen Winkeln nacheinander die Sinus-Werte als

\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}

zuordnen:

sin (0) = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0

sin (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

sin (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1

Die Kosinus-Werte erhälst du indem du die Reihenfolge der Zuordnung umdrehst, also

\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}

statt

\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}

sin (0) = \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1

sin (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0

\\\\

Damit weißt du schonmal die Werte die man sich für Winkel zwischen 0 und

\frac{π}{2}

merken sollte. Wenn man nun Werte für Winkel

\geq \frac{π}{2}

oder für negative Winkel benötigt, so kann man diese auf die bekannten Werte zurückführen, indem man Symmetrie und Periodizität von sin bzw.

cos

ausnutzt.

Der Sinus ist ungerade:

sin (- x) = - sin (x)

Der Kosinus ist gerade:

cos (- x) = cos (x)

Sinus und Kosinus sind

2 π

-periodisch:

sin (x) = sin (x + 2 π)

cos (x) = cos (x + 2 π)

Des Weiteren Helfen diese Formeln für die Rückführung von stumpfe auf spitze Winkel:

sin (x) = sin (π - x)

cos (x) = - cos (π - x)

Diese Beziehungen kann man sich, statt sie auswendig zu lernen, auch durch Überlegungen Einheitskreis merken. Darauf gehe ich jetzt aber nicht weiter ein.

\\

Für dein angegebenes Beispiel kann man beispielsweise ausnutzen, dass

cos

eine gerade Funktion ist (Achsensymmetrie zur y-Achse):

cos (- \frac{π}{6}) = cos (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

\\

Ein weiteres Beispiel:

sin (\frac{3 π}{4}) = sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Hier habe ich die Formel

sin (x) = sin (π - x)

ausgenutzt.

\\\\

Zum Schluss nochmal einen allgemeinen Vorgang:

Wenn man ein

x

gegeben hat, und man

cos (x)

oder

sin (x)

berechnen muss.

Addiere zu bzw. subtrahiere von

x

solange

2 π,

bis man bei einem

x^{'}

mit

0 \leq x^{'} < 2 π

ist.

1. Fall:

0 \leq x^{'} < \frac{π}{2}

sin (x) = sin (x^{'})

cos (x) = cos (x^{'})

sin (x^{'})

bzw.

cos (x^{'})

sollte ein bekannter Wert sein.

2. Fall:

π \leq x^{'} < π

sin (x) = sin (x^{'}) = sin (π - x^{'})

cos (x) = cos (x^{'}) = - cos (π - x^{'})

sin (π - x^{'})

bzw.

cos (π - x^{'})

sollte ein bekannter Wert sein.

3. Fall:

π \leq x^{'} < \frac{3 π}{2}

sin (x) = sin (x^{'}) = - sin (x^{'} - π)

cos (x) = cos (x^{'}) = - cos (x^{'} - π)

sin (x^{'} - π)

bzw.

cos (x^{'} - π)

sollte ein bekannter Wert sein.

4. Fall:

\frac{3 π}{2} \leq x^{'} < 2 π

sin (x) = sin (x^{'}) = - sin (2 π - x^{'})

cos (x) = cos (x^{'}) = cos (2 π - x^{'})

sin (2 π - x^{'})

bzw.

cos (2 π - x^{'})

sollte ein bekannter Wert sein.

\\\\
Statt der Rückführung auf die Winkel

\leq \frac{π}{2}

kann man natürlich auch die größere Tabelle im Anhang merken/überlegen. Dann muss man nurnoch durch Addition/Subtraktion von Vielfachen

2 π

den Winkel auf einen Winkel im Intervall

[0, 2 π]

reduzieren, und kann dann in der Tabelle ablesen.

Mond12 aktiv_icon

16:27 Uhr, 29.01.2017

Ok...also eigentlich gar nicht so schwer! Ich vermute, da wir die Klausur ohne Taschenrechner bearbeiten müssen kommen da eh nicht all zu schwere Zahlen vor!

Vielen Danke ;-)

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