Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweisen Sie die Regeln der Bruchrechnung

Beweisen Sie die Regeln der Bruchrechnung

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Beweis, Bruchrechnung, invers, Körper, Körperaxiome

Bibsel aktiv_icon

21:07 Uhr, 21.01.2014

Erneut Hallo!

Mal wieder haben wir in der Uni Aufgaben bekommen, die wir lösen sollen. Habe die Aufgabe zwar bearbeitet, bin jedoch nicht ganz sicher, ob das so ausreichend ist.

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Sei

K

ein Körper. Für

a, b \in K

mit

b \neq 0

führen wir die Bruchnotation

\frac{a}{b} := a \cdot b^{- 1} \in K

ein. Beweisen Sie die nachfolgenden Regeln der Bruchrechnung in K. Geben Sie bei jeder Umformung an, welche Körper- oder Ringeigenschaft aus der Vorlesung

(z . B

. aus Def.

3.44, 3.62

oder Lemma

3.54)

Sie dabei benutzen.

a)

Für alle

a \in K

und

b, λ \in K^{\times}

gilt:

\frac{λ a}{λ b} = \frac{a}{b}

(Erweitern und Kürzen)

b)

Für alle

a, μ \in K

und

b \in K^{\times}

gilt:

μ \cdot \frac{a}{b} = \frac{μ \cdot a}{b}

(Produkt von Bruch mit Zahl)

c)

Für alle

a, c \in K

und

b, d \in K^{\times}

gilt:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

(Produkt zweier Brüche)

d)

Für alle

a, c \in K

und

b, d \in K^{\times}

gilt:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}

(Summe zweier Brüche)

e)

Für alle

a, b \in K^{\times}

gilt:

{(\frac{a}{b})}^{- 1} = \frac{b}{a}

(Inverse eines Bruchs)

f)

Für alle

a \in K

und

b \in K^{x}

gilt:

- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}

(Negatives eines Bruchs)

Bevor ich dann mal meine Ausarbeitungen präsentiere hier erstmal die Definitionen/Lemma und die Axiome (sofern ich nicht welche vergesse..)
Definition

3.44 :

Ein Ring ist ein Tripel

(R, +, \cdot),

so dass gilt:
(1)

(R, +)

ist eine abelsche Gruppe

\to

Eine Gruppe ist eine Halbgruppe

(G, ⋆)

mit neutralem Element, in der jedes Element invertierbar ist,

d . h

. für die

G = G^{\times}

gilt.

\to

Eine Gruppe

(G, ⋆)

heißt abelsch oder auch kommutativ, wenn für alle

g_{1}, g_{2} \in G

gilt:

g_{1} ⋆ g_{2} = g_{2} ⋆ g_{1}

.
(2)

(R, \cdot)

ist eine Halbgruppe

\to

Eine Halbgruppe ist ein paar

(G, ⋆),

wobei

G

eine Menge ist und

⋆

eine Abbildung

(...)

so dass das Assoziativgesetz gilt:

\forall g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G : g_{1} ⋆ (g_{2} ⋆ g_{3}) = (g_{1} ⋆ g_{2}) ⋆ g_{3}

(3)

es gelten die Distributivgesetze: für alle

a, b, c \in R

sowohl

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

als auch

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

.
Definition

3.62 :

Ein kommutativer Ring

(R, +, \cdot)

heit Körper, falls er eine Eins

1 \neq 0

hat und alle Elemente

\neq 0

invertierbar bzgl.

\cdot

sind,

d . h

. für die Halbgruppe

(R, \cdot)

gilt

R^{\times} = R \ {0}

\to

Ein Ring

(R, + . \cdot)

heißt kommutativ, falls auch die Multiplikation

\cdot

kommutativ ist,

d . h

. falls für alle

a, b \in R

gilt:

a \cdot b = b \cdot a

.
Lemma

3.54 :

Sei

(R, +, \cdot)

ein Ring. Dann gilt:

(i)

für alle

x \in R

ist

0 \cdot x = x \cdot 0 = 0;

(ii) hat

R

eine Eins, dann gilt für alle

x \in R,

dass

(- 1) \cdot x = - x;

(iii) hat

R

eine Eins und ist

1 = 0,

so ist

R = {0}

.
Das müsste wohl alles gewesen sein.

Nun zu meinen "Lösungen"
Zu

a) \frac{λ a}{λ b} = \frac{a}{b}

(mit der Bedingung, dass

a, b \neq 0!)

\to \frac{λ a}{λ b} - \frac{a}{b} = 0

\to \frac{a}{b} \cdot (\frac{λ}{λ} - 1) = 0

(Verwendet: Definition

3.44 (i))

\to

da Ergebnisse der Multiplikation nur dann 0 sind, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist (Lemma

3.54),

schließen wir daraus:
1.

\frac{a}{b} = 0

(laut Definition nicht der Fall!) oder
2.

\frac{λ}{λ} - 1 = 0

\to

wenn

\frac{λ}{λ} - 1 = 0,

dann

\frac{λ}{λ} = 1,

also

\frac{λ a}{λ b} = \frac{a}{b}

b) μ \cdot \frac{a}{b} = \frac{μ \cdot a}{b}

\to = μ \cdot \frac{a}{b} = μ \cdot (a \cdot b^{- 1})

\to = μ \cdot a \cdot b^{- 1} \cdot 1

\to = μ \cdot a \cdot b^{- 1} \cdot b^{- 1} \cdot b

\to = (μ \cdot a \cdot b) \cdot b^{- 1} \cdot b^{- 1}

b \cdot b^{- 1} = 1

(Definition

3.44 (1))

\to = (μ \cdot a) \cdot b^{- 1} \cdot 1

\to = (μ \cdot a) \cdot b^{- 1}

\to = \frac{μ \cdot a}{b}

c) \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}

\to = (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot 1

\to = (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot ((b \cdot d) \cdot \frac{1}{b \cdot d})

gilt weil

1 = \frac{b \cdot d}{b \cdot d}

\to = ((\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot (b \cdot d)) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt wegen Assoziativität der Multiplikation (Definition

3.44 (1))

\to = (\frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot (d \cdot b)) \cdot \frac{1}{b \cdot d})

gilt wegen Kommutativgesetz der Multiplikation

\to = (\frac{a}{b} \cdot ((\frac{c}{d} \cdot d) \cdot b)) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt wegen Assoziativgesetz der Multiplikation

\to = (\frac{a}{b} \cdot (c \cdot b)) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

weil

\frac{c}{d} \cdot d = c \cdot d^{- 1} \cdot d

und

d^{- 1} \cdot d = 1

\to = (\frac{a}{b} \cdot (b \cdot c)) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt wege Kommutativgesetz der Multiplikation

\to = ((\frac{a}{b} \cdot b) \cdot c) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt wegen Assoziativgesetz der Multiplikation

\to = (a \cdot c) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

weil

\frac{a}{b} \cdot b = a \cdot b^{- 1} \cdot b

und

b^{- 1} \cdot b = a

ist

a \cdot 1 = a

\to = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

gilt weil

(a \cdot c) \cdot \frac{1}{b \cdot d} = (a \cdot c) \cdot {(b \cdot d)}^{- 1} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

\to = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}

d) \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}

\to \frac{a}{b} + \frac{c}{d}

\to = (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \cdot 1

gilt, da

(R, \cdot)

eine Halbgruppe (Def.

3.44 (2))

\to = (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \cdot ((b \cdot d) \cdot \frac{1}{b \cdot d})

\frac{b \cdot d}{b \cdot d} = 1

\to = ((\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \cdot (b \cdot d)) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt wegen Assoziativgesetz der Multiplikation

\to = ((\frac{a}{b} \cdot (b \cdot d)) + (\frac{c}{d} \cdot \frac{b}{d}) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt wegen Kommutativgesetz der Multiplikation

\to = ((\frac{a}{b} \cdot (b \cdot d)) + (\frac{c}{d} \cdot \frac{b}{d})) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt wegen Assoziativgesetz der Multpliktion

\to = ((\frac{a}{b} \cdot b) \cdot d) \cdot ((\frac{c}{d} \cdot d) \cdot b) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt wegen Kommutativgesetz der Multiplikation

\to = ((a \cdot d) + (c \cdot b)) \cdot \frac{1}{b \cdot d}

gilt, weil

\frac{a}{b} \cdot b = a \cdot b^{- 1} \cdot b

und

b^{- 1} \cdot b = 1,

also

a \cdot b^{- 1} \cdot b = a

\to = (a \cdot d) + \frac{b \cdot c}{c \cdot d}

gilt wegen Kommutativgesetz der Multiplikation

\to = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}

gilt wegen Assoziativ- und Kommutativgesetz der Addition

Zu

e) {(\frac{a}{b})}^{- 1} = \frac{b}{a}

Da es sich bei dem Körper um eine Gruppe handelt (Def.

3.44 (1),

gibt es also ein neutrales Element

e (1)

und das Inverse ergibt sich durch:

\frac{a}{b} \cdot x = e

mit

e = 1;

\frac{a}{b} \cdot x = 1

\frac{1}{a} \cdot b = x

\frac{1}{a} \cdot b = \frac{b}{a} = x

also ist

\frac{b}{a}

das inverse Element von

\frac{a}{b}

f)

habe ich bisher noch nichts, wollte erstmal die bisherigen Ergebnisse reinstellen (dauert ja auch lang genug

\land)

und sobald ich bei

f

etwas habe, werde ich es ergänzen.

Ich danke euch schonmal für eure Hilfe!

LG,
Bibsel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

el holgazán aktiv_icon

22:55 Uhr, 21.01.2014

Die Definitionen sind vollständig, bis auf die Erklärung, was ein kommutativer Ring ist.

a)
Nein!!!!!!! (Sorry, aber das ist wichtig; das ist keine direkte Kritik an dir. Es ist vielmehr wichtig, dass dir bleibt, dass dies ein schlimmer Fehler ist).

Was du tust, ist, dass du aus der Annahme zeigst, dass 1=1 ist. Daraus folgt NICHT, dass die Annahme stimmt; denn die Annahme könnte ja auch falsch sein. Und aus etwas falschem kann man folgern was man will.

Wenn du

A = B

zeigen sollst, darfst du NICHT benutzen, dass

A = B

ist!!! (Was du aber tun darfst ist z.B. anzunehmen, das

A \neq B

und dann zu einem Widerspruch führen. Das braucht man aber eigentlich eher selten).

b)

Stimmt, aber zu kompliziert:

μ \cdot \frac{a}{b} = μ \cdot (a \cdot b^{- 1}) = (μ \cdot a) \cdot b^{- 1} = \frac{μ \cdot a}{b}

Hier braucht man nur die Definition und die Assoziativität der Gruppe

(K, \cdot)

.

c)

Stimmt, aber du hast sehr viel nicht erklärt. Z.b. ist nicht direkt klar, warum

\frac{a}{b} \cdot b = a

; auch benutzt du

\frac{1}{b}

, was etwas unglücklich ist, da du ja die Notation

\frac{a}{b}

untersuchst. Besser ist, wenn du in der Gruppe arbeitest; also

b^{- 1}

benutzt. Es ist nicht direkt klar, dass

\frac{1}{b}

ein Element der Gruppe ist; das muss man zeigen (was sehr einfach ist).

Versuche die Definition zu gebrauchen; dann ist es ziemlich schnell gemacht:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = (a \cdot b^{- 1}) \cdot (c \cdot d^{- 1}) = a \cdot (b^{- 1} \cdot c) \cdot d^{- 1} =

... etc.

(warum gilt das?)

d) siehe c)

e)

Ist auch etwas unschön. Du weisst ja, was das inverse zu

\frac{a}{b}

ist. Du brauchst die Herleitung dazu nicht; es reicht zu beweisen, dass

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = e

. Benutze dazu c) und zeige, dass

\frac{a}{a} = 1

für alle

a \neq 0

Bibsel aktiv_icon

08:31 Uhr, 22.01.2014

Hi,

Erstmal danke für deine Antwort :-)
Ich muss zugeben, die Erläuterungen zu

c)

und

d)

stehen auf meinem Blatt, aber ich war etwas zu faul, das alles reinzustellen... (Wird aber selbstverständlich ergänzt ;-) )

Habe nochmal über

a)

nachgedacht und eine neue "Lösung", die mir richtig erscheint:

\frac{λ a}{λ b} = \frac{a}{b}

\frac{λ a}{λ b} = \frac{λ}{λ} \cdot \frac{a}{b}

(muss ich das hier schon erläutern?)

\to = λ \cdot \frac{1}{λ} \cdot \frac{a}{b}

\to = λ \cdot λ^{- 1} \cdot \frac{a}{b}; λ^{- 1}

ist das multiplikative Invers zu

λ,

also gilt

λ \cdot λ^{- 1} = e = 1

\to = 1 \cdot \frac{a}{b}

\to \frac{a}{b}

b)

hattest du ja schon überarbeitet (danke dafür!)

c)

und

d)

hab ich in meinem ursprünglichen Text überarbeitet, bzw mache es direkt anschließend

zu

e)

{(\frac{a}{b})}^{- 1} = \frac{b}{a}

da hast du mich jetzt etwas verunsichert, darf ich hier dann direkt verwenden, dass

{(\frac{a}{b})}^{- 1} = \frac{b}{a}

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1,

da Inverses

g ⋆ g^{- 1} = e (= 1)

\to = \frac{a \cdot b}{b \cdot a}

\to = \frac{a \cdot b}{a \cdot b}

(Kommutativgesetz der Multiplikation)

\to = \frac{a}{a} \cdot \frac{b}{b}

\to = a \cdot a^{- 1} \cdot b \cdot b^{- 1}; a^{- 1}

bzw

b^{- 1}

ist das Inverse zu a bzw.

b

\to = 1 \cdot 1

\to = 1

wie gesagt: absolut unter Vorbehalt :-D)

1. Versuch zu

f)

- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}

- \frac{a}{b} = - 1 \cdot \frac{a}{b}

\to = - 1 \cdot (a \cdot b^{- 1})

\to = (- 1 \cdot a) \cdot b^{- 1};

gilt wegen dem Assoziativgesetz der Multipliktion

\to = - a \cdot b^{- 1}

\to = \frac{- a}{b}

\frac{- a}{b} = \frac{- 1 \cdot a}{b}

\to = (- 1 \cdot a) \cdot b^{- 1}

\to = (a \cdot (- 1)) \cdot b^{- 1};

gilt wegen dem Kommutativgesetz der Multiplikation

\to = a \cdot ((- 1) \cdot b^{- 1});

gilt wegen dem Assoziativgesetz der Multiplikation

\to = a \cdot (- b^{- 1})

\to = \frac{a}{- b}

LG,
Bibsel

Bibsel aktiv_icon

15:25 Uhr, 23.01.2014

Ein letztes kurzes Hallo:

Ich geh einfach mal davon aus, dass meine Lösungen nicht allzu falsch sind und bevor es in Vergessenheit gerät,
möchte ich mich noch einmal herzlich bei dir für deine Hilfe bedanken :-)

Liebe Grüße,
Bibsel

el holgazán aktiv_icon

20:01 Uhr, 23.01.2014

Hallo :-)

Noch eine Nachbemerkung zu e), da es wichtig ist, dass du das verstehst (da es dir hilft, generell die Argumentation in der Mathematik zu verstehen).

Hier geht es ja um das Inverse. Nun, was ist ein Inverses? Das Inverse eines Elements

a

ist nicht etwa einfach

a^{- 1}

; sondern

a^{- 1}

steht Stellvertretend für ein normales Element

b

aus der Gruppe mit der Eigenschaft, dass

a \cdot b = e

.

Wenn du also behauptest:

a^{- 1} = b

sagst du eigentlich: "

b

ist das Inverse von

a

; also das Element mit der Eigenschaft

a \cdot b = e

.

Wenn ich jetzt sage, du weisst schon, dass das Inverse von

\frac{a}{b}

das Element

\frac{b}{a}

ist, muss du also nur zeigen, dass

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = e

. Oder um es vielleicht noch klarer zu machen; gebe den Elementen andere Namen:

A = \frac{a}{b}

B = \frac{b}{a}

.
Die Behauptung, dass

A^{- 1} = B

ist bewiesen, wenn man zeigt, dass

A \cdot B = e

.

Also musst du bei Aufgabe e) nur den Ausdruck

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}

ausrechnen und zeigen, dass dieser gleich

e

ist, und du hast automatisch gezeigt, dass

\frac{b}{a}

das Inverse von

\frac{a}{b}

ist.

1140713

1140103

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?