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eine stetige, 1periodische Funktion ist beschränkt
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Integration
Stetigkeit
Tags: Beschränkt, Funktion, Integration, Stetigkeit
 
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Hallo! Die Angabe lautet so: f(x) ist eine auf ganz definierte, stetige und 1-periodische Funktion (also f(x)=f(x+1)). Zu zeigen ist nun, dass f(x) auf beschränkt ist. Ich habe eigentlich schon eine ungefähre Lösung, nur bin ich mir nicht sicher, ob es stimmt/als Argument reicht. Vielleicht könnte mir hier irgendwer helfen? Das, was ich bis jetzt habe ist: Nehmen wir die kompakte Menge [0,1]. Da die Menge kompakt ist, muss sie ein Minimum und ein Maximum annehmen. Wir definieren: a= { x [ 0,1 ] : f(x) x, x [ 0,1 ] }, b= { x [ 0,1 ] : f(x) x, x [ 0,1 ] }, f(a) und f(b) sind laut Angabe periodisch, also muss gelten: f(a)=f(a+1)=f(a+2)=f(a+3)=... f(b)=f(b+1)=f(b+2)=f(b+3)=... Also gilt für jedes Intervall [x,x+1]: Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Deine Idee ist schon zielführend, allerdings ist bei der Definition von und etwas schief gegangen. Ich sehe auch nicht wofür du diese überhaupt definierst. Du weißt, dass es ein mit für alle gibt (da stetig und kompakt). Mit der 1-Periodizität ergibt sich doch dann sofort für alle . Man kann die Erweiterung der Ungleichung von auf natürlich auch formaler gestalten, wenn man unbedingt möchte. Dazu überlegt man sich zuerst induktiv, dass die 1-Periodizität sogar für jedes und jedes impliziert. Ist dann beliebig so folgt wegen damit und da dann schließlich Dabei soll für die Gaußklammer (Abrundungsfunktion) stehen, sprich |
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Vielen Dank! Das würde dann auch schon als Beweis reichen, oder? Ich hätte noch eine Frage zu einem anderen Teil des Beispiels: f(x) ist immer noch irgendeine auf R definierte, stetige und 1-periodische Funktion. Kann ich annehmen, dass |
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Mir würde es reichen. Und ja letzteres gilt. Mit folgendem Zwischenschritt sollte es (nicht nur anschaulich) klar sein: wobei im ersten Schritt substituiert wird und im zweiten die 1-Periodizität ins Spiel kommt. |
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Danke! |
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