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extremstellen mit der hesse-matrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Tags: Determinanten, Eigenwert, Extremstellen, Hesse Matrix, Maximum, Minimum

kubii aktiv_icon

16:13 Uhr, 15.01.2016

Hallo Leute,
Ich habe im letzten Semester meine Mathe 2 Klausur zum 2ten Mal verhauen

: (

Ich habe nur noch ein versuch und als ich letztens meine Klausur abgeholt habe kam ich bei einer Aufgabe nicht weiter ! Ich war auhc schon beim Prof und der sagt eiskalt Pech gehabt

\frac{:}{}

ja würde mich wirklich freuen wenn mir jmd weiter helfen könnte
Also die Aufgabe ist :

Vorgelegt ist die Funktion

f (x, y) := 5 x^{2} +

5xy

- 16 y^{3} + 10 y

1. Berechnen sie die Kandidatenmenge für Extremstellen.
2. Stellen sie die Hesse- Matrix auf .
3. Bestimmen sie mithilfe der Eigenwerte der Hessematrix, ob die gefundenen Kandidaten wirklich Extremstellen sind, und bestimmen Sie den Typ(Maximum oder Minimum).

Bei 1 und 2 hab ich Lösungen und nur folgefehler gehabt aber bei aufgabe 3 null punkte

: (

Könnt ihr mir helfen und sagen wie ich da rangehen soll?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

20:13 Uhr, 15.01.2016

Die Kandidatenmenge und die Hesse-Matrix hast du also bereits.

Und woran scheitert es nun konkret bei

3)

?

Findest du nicht die richtigen Eigenwertewerte der Matrix? Dann poste deine Rechnung und wir versuchen, deinen Fehler zu finden. Natürlich must du da auch die Hessematrix selbst umd am besten noch deren Herleitung angeben. Wär lästig, wenn der Fehler in einer falschen Matrix liegen würde.

Oder weißt du nicht, wie man mithilfe der Eigenwerte die Definitheit der Matrix bestimmt und damit dann erkennt, ob ein Extremwert vorliegt und wenn ja, welcher?
In diesem Fall solltest du dich eben schlauer machen. Da hast du sicher Zugriff auf Skripten und Bücher, in denen das beschrieben wird. Zur Not tuts auch das Internet, zB

\to

massmatics.de/merkzettel/index.php#!207:Mehrdimensionale_Extremstellen

\to

massmatics.de/merkzettel/index.php#!211:Eigenwertmethode_zur_Definitheitsbestimmung

Also, woran konkret krankt es?

R

kubii aktiv_icon

21:33 Uhr, 15.01.2016

also ich kann euch ja erstmal zeigen was für Ergebnisse ich herausbekommen habe
zu

1)

f (x, y) = 5 x^{2} +

5xy

- 16 y^{2} + 10 y

fx(x,y)=

10 x + 5 y \to y = - 2 x

fy(x,y)=

5 x - 48 x^{2} + 10

y

in fy(x,y) einsetzten

fy(x,y)=

5 x - 48 {(- 2 x)}^{2} + 10

fy(x,y)=

- 240 x^{2} + 5 x + 10

und dann hab ich mit der PQ Formel die Nullstellen

x 1 = 0,219

und

x 2 = - 0,1

herausbekommen und dann in

y = - 2 x

eingesetzt und dann für

y 1 = - 0,438

und für

y 2 = 0,2

herausbekommen

also mögliche Kandidaten

{(0,219; - 0,438); (- 0,1; 0,2)}

und

2)

(wie füg ich hier Matrizen ein? soll eine

2 \cdot 2

Matrix anzeigen benutze mal hashtag als Leertaste ?)

HF

= (10

5)

###

(5

- 96 y)

ja und bei Aufgabe

3)

dachte ich müsse es so aussehen :

det (

) = (10 \cdot - 96 y) - (5 \cdot 5)

und

0 = - 960 y - 25

y = 0,026

und ja das hat er als falsch makiert also 0 punkte und es hakt nur bei aufgabe drei

: (

ich weis nicht was ich da machen muss und vom skript versteh ich es auch nicht

Roman-22

21:38 Uhr, 15.01.2016

Wie sieht denn

f (x, y)

nun wirklich aus?

16 y^{3},

wie in deinem ersten Posting, oder

16 y^{2},

so wie eben jetzt?

>

vom skript versteh ich es auch nicht
Und haben die beiden Links etwas Licht ins Dunkel bringen könnnen? (sind nicht direkt anklickbar, sondern müssen per copy and paste in die Adresszeile des Browsers gebracht werden.)

R

abakus

21:38 Uhr, 15.01.2016

Überprüfe nochmal die partielle Ableitung nach y.

kubii aktiv_icon

21:51 Uhr, 15.01.2016

ohh ist doch

16 y^{3}

Roman-22

21:53 Uhr, 15.01.2016

Trotzdem gehört bei der partiellen Ableitung

f_{y}

ein

y^{2}

anstelle des

x^{2}

.

Und beim Einsetzen hast du dich bei

48 \cdot 4

verrechnet (du hast offenbar

48 \cdot 5

gerechnet).

Daher stimmen bereits die Werte

x_{1}

und

x_{2}

nicht.

R

EDIT:

>

wie füg ich hier Matrizen ein?

\to

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Roman-22

22:46 Uhr, 15.01.2016

>

ja und bei Aufgabe

3)

dachte ich müsse es so aussehen :

und was soll das bringen, wenn du den y-Wert bestimmst, für den die Determinante der Hesse-Matrix Null wird?

In der Angabe steht doch deutlich, was du machen sollst, nämlich die Eigenwerte der Hesse-Matrix bestimmen. Das kannst du nach Einsetzen der beiden kandidaten jeweils mit den konkreten zahlen machen, oder aber einmal allgemein.
In jedem Fall bestimmst du die Eigenwerte aber, indem du die Nullstellen

λ_{1}

und

λ_{2}

des charakteristischen Polynoms ermittelst.

Also

| (\begin{matrix} 10 & 5 \\ 5 & - 96 y \end{matrix}) - λ \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) | = | \begin{matrix} 10 - λ & 5 \\ 5 & - 96 y - λ \end{matrix} | = (10 - λ) \cdot (- 96 y - λ) - 25 = 0

Im Anhang findest du zu deiner Kontrolle die Ergebnisse mit einem CAS gerechnet.

R

kubii aktiv_icon

23:03 Uhr, 15.01.2016

Vielen vielen Dank Roman.
Ich brauchte ein Beispiel weil ich nicht wusste wie ich da rangehen soll. Ich werde mich nun wieder hin setzten und versuchen die Aufgaben zu lösen.

kubii aktiv_icon

23:05 Uhr, 15.01.2016

. .

kubii aktiv_icon

17:24 Uhr, 18.01.2016

Hallo , also ich komm nicht weiter

ich hab jetz bei der Hesse matrix mit dem Eigenwert

det \to

Hf = λ^2 -10λ

+

96yλ

- 960 y - 25

und wie muss ich weiter vorgehen ? Wie mach ich das denn jetz mit dem y? Wo muss ich den meine möglichen Extremstellen einsetzten?

Roman-22

19:21 Uhr, 18.01.2016

>

Wie mach ich das denn jetz mit dem y? Wo muss ich den meine möglichen Extremstellen einsetzten?
Eben genau in die Hesse-Matrix. Da diese nicht mehr von

x

abhängig ist, spielt eben nur mehr die y-Koordinate der Kandidaten eine Rolle.

Für jeden Kandidaten erhältst du also eine andere quadratische Gleichung in

λ,

also andere Eigenwerte.
Und deine Aufgabe ist es eben, anhand dieser Eigenwerte Rückschlüsse Hoch-, Tief- Sattelpunkt zu ziehen.
Wie das geht steht zB in einem der Verweise, die ich früher angegeben hatte. Was konkret rauskommt, hab ich dir auch schon im Anhang verraten.

R

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