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f ist stetig => |f| ist stetig...Beweis ?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Betrag, Funktion, Stetigkeit

 
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Julesd

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14:58 Uhr, 20.11.2015

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Hallo,
Ich muss für die wöchentlichen Hausaufgaben während des Studiums folgendes beweisen:
f ist stetig ⇒|f| ist stetig, dabei sei f:ℝ→ℝ eine Funktion.
Mein Lösungsansatz wäre:
Da f stetig ist gilt:
∀ε>0∃δ>0:∀x,x0∈f:|x-x0|<δ,|f(x)-f(x0)|<ε
Da nach der Dreiecksungleichung gilt: ||x|-|y||≤|x-y| folgt,
∀ε>0∃δ>0:∀x,x0∈f:|x-x0||<δ,||x|-|y||<ε
Demnach müsste doch aus f ist stetig ⇒|f| ist stetig oder vertue ich mich da ?
Kann mir jemand dabei helfen ?
Jules
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:06 Uhr, 20.11.2015

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So hast Du die Stetigkeit von ∣f∣ nicht gezeigt, denn ∣f(x)-f(x0)∣<ε reicht nicht, Du brauchst ∣∣f(x)∣-∣f(x0)∣∣<ε.

Andererseits, für einen fixierten Punkt x0 ist f(x0) gibt's drei Möglichkeiten: f(x0)>0, f(x0)<0 und f(x0)=0. In den ersten zwei Fällen gibt's ganze Umgebung, wo f dasselbe Vorzeichen hat, also... Und der Fall f(x0)=0 ist einfach.

Julesd

Julesd aktiv_icon

15:20 Uhr, 20.11.2015

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Ups ich habe mich etwas verschrieben.
Aus der Stetigkeit von f folgt:
∀ε>0∃δ>0:∀x,x0∈f:|x-x0|<δ,|f(x)-f(x0)|<ε
nach der Dreiecksungleichung folgt dann:
∀ε>0∃δ>0:∀x,x0∈f:|x-x0|<δ,||f(x)|-|f(x0)||<ε
Damit müsste doch ||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|<ε gelten oder ?
und somit wäre doch aus f ist stetig ⇒|f| ist stetig bewiesen ?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:22 Uhr, 20.11.2015

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Ja, so ist es richtig.
Frage beantwortet
Julesd

Julesd aktiv_icon

15:25 Uhr, 20.11.2015

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Danke schön :-)