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hermitesche Operatoren: Produkt, Summe, etc.

Universität / Fachhochschule

Tags: adjustierter Operator, Beweis, Hermitesche Operatoren, Operator, produkt, quantenmechanik, Unitärer Operator, zeigen

 
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mac-user09

mac-user09 aktiv_icon

11:13 Uhr, 01.05.2014

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Hallo Leute,

ich habe ein Problem mit hermiteschen Operatoren...

Was ich weiß: Solche Operatoren haben reelle Eigenwerte und das adjungierte eines solchen Operatoren ist gleich dem eigentlichen Operators.
Nun soll ich aber folgendes zeigen und habe keinen Plan/Idee wie:

Seien A und B hermitsche Operatoren.
1. Sind folgende Operatoren auch hermitesch?
[A,B]+=AB+BA bzw. [A,B]-=AB-BA
i[A,B]

2. Welche Bedingungen müssen gelten, so dass ein Produkt A⋅B hermitesch ist?

3. Zeigen sie: UAU# ist hermitesch, wenn A hermitesch, U unitärer Operator und U# adjungierter Operator.

Wie muss ich das machen? da ich leider keinerlei Ansätze habe, hoffe ich, dass ihr mir da helfen könnt. Ich erwarte keine Vollständige Rechnung, jedoch ohne Ansätze kann ich ja nun leider nichts probieren...

Grüße
Mac

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:02 Uhr, 01.05.2014

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Du musst folgende Regeln nutzen:
(A+B)#=A#+B# und (A⋅B)#=B#⋅A#,
wo A# den adjungiersten Operator von A bedeutet (eigentlich nutzt man meistens die Bezeichnung A* in der Literatur, aber das ist egal).

Als Beispiel:
(AB+BA)#=(AB)#+(BA)#=B#A#+A#B#=BA+AB, wenn beide A und B hermitesch.
Also ist in diesem Fall auch AB+BA hermitesch.
mac-user09

mac-user09 aktiv_icon

14:58 Uhr, 01.05.2014

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HI,

danke für die Antwort. Habe nun folgendes heraus bekommen:

zu 1:

[A,B]=AB-BA ist anti-Hermitesch, da folgendes gilt:

(AB-BA)#=(AB)#-(BA)#=B#A#-A#B#=BA-AB=-(AB-BA)

i[A,B] ist wegen [A,B] anti-hermitesch? Werden die EW nicht komplex durch das komplexe i?


zu 2:
Als Bedingung gilt: AB hermitesch <=> [A,B] = 0

zu 3:
Es muss ja gelten, dass (UAU#)#=UAU#
Aber wie zeige ich das?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:25 Uhr, 01.05.2014

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"Aber wie zeige ich das?"

Einfach zweimal die Regel (AB)#=B#A# anwenden:

(UAU#)#=(U⋅AU#)#=(AU#)#U#=(U#)#A#U#=UAU#,
weil (U#)#=U und A#=A (A - hermitesch).

Was i[A,B] angeht, dann soll er doch hermitesch sein, denn (iA)#=-iA#, wenn ich mich nicht irre. Bzw. allgemein (aA)#=a¯A# für eine komplexe Zahl a.
mac-user09

mac-user09 aktiv_icon

17:56 Uhr, 01.05.2014

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Ah, danke sehr. Hatte einen Fehler bei mir, daher klappte das mit UAU# nicht.

Zu i[A,B]:
Habe über sehen, dass das transponierte einer Zahl die Zahl selber ist. Dann ist das auch hermitesch? Aber wie kann das dann noch reelle Eigenwerte haben mit dem i?

Edit: Frage beantwortet, da ich das Minus vom i reinziehen kann, ergibt sich dann genau das, was es soll.
Frage beantwortet
mac-user09

mac-user09 aktiv_icon

18:59 Uhr, 01.05.2014

Antworten
Du hast mir wirklich wunderbar geholfen. Vielen Dank.