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matrix berechnen mit zwei gegebenen Basen

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Determinanten

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: basis, darstellungsmatrix, Determinanten, Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung, Vektorraum

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13:58 Uhr, 27.04.2012

Sei

K

ein körper und sei

V

ein

K -

Vektorraum. Sei

f : V \to V

eine

K

-lineare Abbildung.
Sei

A := {a_{1}, a_{2}, a_{3}}

eine Basis von

V

und sei

A := M_{A}^{A} (f) = (\begin{matrix} - 59 & 74 & - 87 \\ - 4 & 7 & - 6 \\ 38 & - 46 & 56 \end{matrix})

die Matrix, welche der linearen Abbildung

f

bezüglich A zugeordnet ist. Der Vektorraum habe eine weitere Basis

B := {b_{1}, b_{2}, b_{3}}

mit

b_{1} = a_{1} + 2 a_{2} + a_{3}, b_{2} = - 3 a_{1} + 2 a_{3}, b_{3} = 4 a_{1} + a_{2} - 2 a_{3}

(a)

Berechnen Sie die Matrix

C := M_{B}^{A} (

idV ).

(b)

Zeigen Sie, dass die darstellungsmatrix

B := M_{B}^{B} (f)

von

f

bzgl. der Basis

B

eine Diagonalmatrix ist.

(c)

Berechnen Sie

A^{k}

für

k \in ℕ

in Abhängigkeit von

C

und

k

.

Ich weiß nicht genau was ich mit den Basen machen soll, weil

B

doch eigentlich eine Matrix sein sollte oder nicht? Deswegen weiß ich nicht wie ich genau die

b_{i}

benutzen soll. Bei

(b)

ist mir wieder wegen der Basis unklar wie ich die Darstellungsmatrix berechnen soll und der Rest baut ja darauf auf. Ich würde mich über Hilfe sehr freuen oder wenigstens über eine Erklärung wegen der Basen.
Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

OmegaPirat

20:29 Uhr, 29.04.2012

hallo

Einen Vektor kann man als linearkombination aus Basiselementen darstellen.
Zum beispiel hast du diese basis gegeben:

A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}

Das ist keine Matrix.

a_{1}, a_{2}

und

a_{3}

können

z . B

. anschaulich die einheitsvektoren sein, welche das kartesische Koordinatensystem aufspannen.

Jedenfalls sind alle anderen Vektoren des raumes, der durch diese basis aufgespannt wird, eine linear kombination davon.
Ein beliebiger Vektor a ist dann gegeben durch

a = λ_{1} a_{2} + λ_{2} a_{2} + λ_{3} a_{3}

Die Koeffizienten

λ_{1}, λ_{2}

und

λ_{3}

bezeichnet man als Komponenten des Vektors. man schreibt dann auch den Vektor in spaltenform:

{(\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix})}_{A}

Die Komponenten sind natürlich von der gewählten Basis abhängig, weshalb ich unten rechts noch das A drangesetzt habe. Eine Abbildung

f

kannst du natürlich mit einer matrix

M_{B}^{A} (f)

in der form

y = M_{B}^{A} (f) x

darstellen. Dies bedeutet, dass du

x

in der Basis von A und das Ergebnis

y

in der Basis von

B

darstellen sollst.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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