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max funktion auch stetig

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Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

 
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vinnyyy

vinnyyy aktiv_icon

16:07 Uhr, 11.12.2010

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hallo ich hab da eine frage wo ich gar keinen ansatz für den beweis habe^^

also hier die aufgabe

seien f:R→R und g:R→R zwei stetige funktionen. beweisen sie, dass dann auch die funktion max(f,g)(x):=max(f(x),g(x)) stetig ist.

danke im vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
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QPhma

QPhma aktiv_icon

22:41 Uhr, 12.12.2010

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"Eine Funktion f ist stetig in x0∈D genau dann, wenn der Grenzwert von f für x→x0 existiert und limx→x0f(x)=f(x0) gilt" ( de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit )
Weiterhin gilt, dass der Grenzwert limx→x0f(x) genau dann existiert, wenn sowohl der rechtseitige als auch der linksseitige Grenzwert existiert und diese beiden einander gleich sind.
limx→x0f(x)=limx→x0+0f(x)=limx→x0-0f(x).

Diese Eigenschaften gelten für die Funktionen f und g. Um jetzt zu zeigen, dass sie auch für max(f,g) gelten, muss man drei Fälle unterscheiden:
a)  x0 ist kein gemeinsamer Punkt von f und g,d. h. f(x0)≠g(x0)
b)  x0 ist ein Schnittpunkt von f und g,d. h. f(x0)=g(x0) und in einer gewissen Umgebung von x0 gilt: für x<x0 ist f(x)<g(x) und für x>x0 ist f(x)>g(x) bzw. umgekehrt
c)  x0 ist ein Berührungspunkt von f und g,d. h. f(x0)=g(x0) und in einer gewissen Umgebung von x0 ist stets f(x)≥g(x) oder in einer gewissen Umgebung ist stets f(x)≤g(x)

Im Fall a) gilt f(x)≠g(x) nicht nur genau für x=x0, sondern auch in einer Umgebung von x0. Das kann mit Hilfe der ε-δ Definition der Stetigkeit von f und g gezeigt werden. Dann ist max(f,g) in dieser Umgebung alleine durch die größere der beiden Funktionen f bzw. g bestimmt und damit überträgt sich die Stetigkeit dieser größeren Funktion an der Stelle x0 auf max(f,g).

Im Fall b) sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit links von x0f(x)>g(x) und rechts von x0f(x)<g(x). Dann muss man den linksseitigen Grenzwert von max(f,g) für x→x0 mit Hilfe der Funktion f(x) berechnen. Dieser Grenzwert existiert, weil f stetig ist und ist gleich f(x0). Der rechtsseitige Grenzwert wird mit Hilfe der Funktion g(x) berechnet. Auch dieser Grenzwert existiert und ist gleich g(x0). Da es sich um einen Schnittpunkt handelt, ist f(x0)=g(x0)=max(f,g)(x0),d. h. rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert sind einander gleich und sind auch gleich dem Funktionswert an der Stelle x=x0. Damit ist für max(f,g) auch in diesem Fall die Stetigkeit an der Stelle x0 gezeigt.

Im Fall c) bestimmt genau wie im Fall a) eine der beiden Funktionen, nämlich die größere, die Funktion max(f,g) und damit überträgt sich die Stetigkeit von dieser Funktion auf die Maximumsfunktion.

Nimmt man alle drei Fälle zusammen, ist die Stetigkeit für jedes x∈ℝ gezeigt.



Frage beantwortet
vinnyyy

vinnyyy aktiv_icon

19:07 Uhr, 13.12.2010

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boa^^ megageil.

ne ernsthaft.
danke sehr nett und total verstänlich.

super