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maximales Volumen von einem Paket
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation, Extremwert, volum
 
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Hallo, ich habe hier eine Aufgabe aus meiner letzten Analysis Klausur, bei der ich leider keinen Ansatz gefunden habe. Es geht um die Berechnung des maximalen Volumen eines Paketes. Ein Paket mit den Bedingungen 200cm und 300cm muss zum Versand. Umfang zuzüglich längster Seite darf maximal 3 Meter sein. Für welche Werte wird das Volumen maximal? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo Maximal wird's doch sicherlich, wenn du an die Grenzen gehst. Also nicht cm sondern cm Sieh an: erste Gleichung. Zweite Gleichung sollte nicht schwer sein: Volumen Dritte / vierte Gleichung: Maximierung: dV/dH dV/dB Willst du mal? PS: Ach ja, die Nebenbedingung cm wirst du dann kontrollieren müssen. (Ich hab's noch nicht, ahne aber rein anschaulich, dass eine Bohnenstange nicht zum maximalen Volumen führt.) |
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Maximierung: dV/dH dV/dB Im Ernst? Daraus würde doch folgen, dass mind. 1 Maß Null sein soll! Damit würde man kaum auf kommen . Vermutlich wolltest du aber sagen, dass du erst deine erste Gleichung in die Volumsformel einsetzt und so ein . erhältst. Damit sollte sich dann als einzig brauchbare Lösung einstellen. |
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Wie genau kommst du auf die Werte? Wenn ich die Formel nach umstelle, erhalte ich 300−2H−2B und ich weiß, dass sein muss Soll ich jetzt erstmal annehmen dass ist? |
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Soll ich jetzt erstmal annehmen dass ist? Nein. Im Ansatz von calc007 nimmst du zwar an, dass man bei der Bedingung mit an die Grenze geht, bei der Bedingung aber nicht. Meiner Meinung nach ist die lapidare Behauptung, dass man das bei der einen Bedingung machen soll und bei der anderen nicht zumindest erklärungsbedürftig und vielleicht holt calc007 das noch nach. Folgt man aber unter dieser Annahme seinem Ansatz und setzt in die Volumsfunktion für ein, so hast du nun eine Funktion in zwei Variablen. Diese partiell einmal nach und nach abgeleitet und Null gesetzt liefert ein Gleichungssystem für und welches vier Lösungen hat, aber nur eine davon, eben die schon genannten sind brauchbar (bei den anderen ist immer mind. eine Größe Null). |
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Als 1. Ableitung nach erhalte ich nach Die beiden habe ich 0 gesetzt und durch die Logik, dass ein Faktor nicht 0 sein darf, ergibt nur und Sinn. Vielen Dank für deine Hilfe |
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Man kann auch schrittweise folgendermaßen vorgehen: Nehmen wir an, wir hätten das optimale L schon gefunden. Es hat dann einen festen (uns noch unbekannten) Wert. Dann ist 2B+2H=300-L der nun feste Umfang für das Rechteck BH. Dieses Rechteck nehmen wir nun als Grundfläche für den Quader mit der Höhe L. Dann wird das Volumen maximal, wenn diese Querschnittsfläche maximal wird. Ein Rechteck mit gegebenem Umfang ist aber genau dann maximal, wenn es ein Quadrat ist (*). Somit muss B=H sein. Dann ist V = L mit L=300-4B und damit V= gibt B=0 oder B=50 und damit B=H=50, L=100. ------------------------ (*) Der Beweis hierzu ist besonders einfach: Hat ein Rechteck den Umfang 4s, so ist die eine Seite s-x, die andere s+x lang und der Flächeninhalt (s-x)(x+x)=. Da ist, wird dieser Ausdruck für x=0 maximal. |
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