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minimalen Abstand berechnen

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Tags: Abstand, Funktion, minimal, Umkehrfunktion

DemetAlara aktiv_icon

13:00 Uhr, 13.02.2021

Gegeben ist die Funktion

y = x^{2} + 1

Skizzieren Sie die Funktion und die zugehörige Umkehrfunktion. Berechnen Sie den minimalen Abstand zwischen der Funktion und der Umkehrfunktion.

Hab irgendwo ein Fehler in meiner Rechnung ..
Habt ihr vielleicht eine Ahnung .

Wenn ich

x 2

und

x 1

berechne wie Form ich das um ..
setzt ich dann mein

x

aus der Umkehrfunktion in

y 2

ein ?

Bin etwas durcheinander :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Einführung Funktionen
Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

14:42 Uhr, 13.02.2021

Hallo,

wenn ich es richtig verstehe, dann setzt du schon voraus (was sich auch leicht aus der Symmetrie begründen lässt), dass der nächstgelegene Punkt zu einem Punkt

P (x ∣ x^{2} + 1)

des Graphen von

f : x \mapsto x^{2} + 1

schon der symmetrische gelegene Punkt

Q (x^{2} + 1 ∣ x)

des Graphen der Umkehrfunktion sein muss. Müsstest du das nicht noch irgendwie begründen?

Du fragst ansonsten direkt nach deinem Fehler: Bei der Ableitung von

d^{2} (x)

in der Ableitung des zweiten Terms bei der Anwendung der Kettenregel (innere Ableitung).

Du multiplizierst mit

(- 2 x)

, müsstest dort aber

(- 2 x + 1)

stehen haben.

Noch eher (also davor) sollte dir klar sein, dass die beiden Summenden wegen

x_{2} = y_{1}

und

x_{1} = y_{2}

identisch sind. (Ja, es wird umgekehrt subtrahiert. Da aber anshcließend quadriert wird, kommt das gleiche heraus, sodass sich deine Funktion

d^{2} (x)

vereinfacht zu

d^{2} (x) = 2 (x^{2} + 1 - x)^{2}

.
Damit erhältst du

d^{2} ʹ (x) = 4 (x^{2} + 1 - x) \cdot (2 x - 1)

.

Damit ergeben sich der Extrempunktkandidat zu

x = \frac{1}{2}

aus der zweiten Klammer (erste Klamer kann nicht Null werden).

Selbst wenn du es aber so einreichst, wirst du vermutlich nicht alle Punkte erhalten. Jedenfalls steckst du eine nicht triviale Vereinfachung in die Rechnung. (s.o.)

Was habt ihr denn zum Thema Abstände alles erarbeitet?

Mfg Michael

Respon

14:53 Uhr, 13.02.2021

Mögliche Variante:

y = x

HNF

: \frac{x - y}{\sqrt{2}} = 0

P (x | 1 + x^{2})

Abstand des Punktes von der Symmetrale

a (x) = \frac{x - 1 - x^{2}}{\sqrt{2}}

a' (x) = \frac{1 - 2 \cdot x}{\sqrt{2}}

a' (x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

a (\frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{8}

\Rightarrow

der kürzerste Abstand ist

2 = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{8} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4}

HAL9000

15:06 Uhr, 13.02.2021

> Müsstest du das nicht noch irgendwie begründen?

An sich schon! Eine Variante:

Sei

g

die Umkehrfunktion von

f (x) = x^{2} + 1, x \geq 0

.

Seien weiterhin

P

ein Punkte auf dem

f

-Graphen und

Q

ein Punkt auf dem

g

-Graphen derart, dass

∣ P Q ∣

minimal ist. Schließlich sei

R

der Schnittpunkt von

P Q

mit der geraden

y = x

.

Dann muss

∣ P R ∣ = ∣ R Q ∣

sein, denn andernfalls finden wir eine kürzere Verbindung. Ebenfalls muss

P Q

die Gerade

y = x

senkrecht schneiden, ebenfalls wieder wegen einer ansonsten kürzeren Verbindung. Das wiederum bedeutet, dass der Anstieg der Funktion

f

im Punkt

P (x, x^{2} + 1)

gleich dem der Gerade

y = x

, also gleich 1 sein muss. Mit

f' (x) = 2 x

geht es daher um

x = \frac{1}{2}

, damit

P (\frac{1}{2}, \frac{5}{4})

sowie

Q (\frac{5}{4}, \frac{1}{2})

mit Abstand

∣ P Q ∣ = \frac{3}{4} \sqrt{2}

DemetAlara aktiv_icon

15:14 Uhr, 13.02.2021

Ich studiere an einer Fachhochschule , hatten nur Vorlesungen an dem er an einfachen Beispielen sowas erklärt hat . Leider helfen diese mir nicht weiter . Ich finde es einfach Punkte einzusetzen und diese auszurechnen .

Danke euch für eure Hilfe glaube habe es aber verstanden .

Mit lieben Grüßen

DemetAlara aktiv_icon

15:14 Uhr, 13.02.2021

DemetAlara aktiv_icon

15:14 Uhr, 13.02.2021

DemetAlara aktiv_icon

15:14 Uhr, 13.02.2021

DemetAlara aktiv_icon

15:14 Uhr, 13.02.2021

Respon

15:14 Uhr, 13.02.2021

Korrektur eines Tippfehlers:

2 \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{8} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4}

michaL aktiv_icon

17:40 Uhr, 13.02.2021

Hallo,

zur Begründung:
Ich weiß natürlich ebenso wie HAL9000, dass kürzeste Verbindungen immer mit rechten Winkeln einhergehen. Und trotzdme ist vielleicht folgende Variante in diesem einfachen naheliegender:

Ich suche mir die Punkte aus, deren Tangenten gerade parallel zur Symmetrieachse

y = x

sind. Dort ist demnach die Steigung gerade 1. Damit ergeben sich

x = \frac{1}{2}

für

f : x \mapsto x^{2} + 1

(und damit

f (x) = 1, 25

) und

x = 1, 25

für

g : x \mapsto \sqrt{x - 1}

.

Zeichnent man diese Tangenten und ebenfalls die Symmetrieachse, so sieht man, dass aufgrund der Krümmung des Graphen von

f

bzw.

g

diese Punkte den keinsten Abstand von der Symmetrieachse haben. Da dieser Abstand (aus Symmetriegründen) gleich groß ist und (ebenfalls aus Symmetriegründen) die Verbindungsstrecke senkrecht zur Symmetrieachse ist, sind dies die beiden gesuchten Punkte.

Nun steckt in der Begründung eine Menge "aus Symmetriegründen". Sie helfen einem, die Situation richtig einzuschätzen.

Verschiebt man nun den Graphen von

f

senkrecht zur Symmetrieachse daraufhin, betrachtet man also eigentlich die Funktionen

h : x \mapsto (x - 3 / 8)^{2} + 5 / 8

und

k : x \mapsto \sqrt{x - 5 / 8} + 3 / 8

, so stellt man fest, dass ihre Graphen im Vergleich zu vorher so verschoben sind, dass sie genau einen Schnittpunkt haben (7/8|7/8).
Außerdem sind sie immer noch Umkehrfunktionen zueinander.

Daraus stellt sich klar: Ihr Abstand (kleinster Abstand ist genau Null und der Schnittpunkt liegt dankenswerterweise auf der Symmetrieachse.

Von hier ausgehend wird jede Verschiebung (zurück) der Graphen entgegengesetzt und gleichweit(!) und senkrecht zur Symmetrieachse gerade dazu führen, dass die beidne entstehenden Graphen wieder zu Umkehrfunktionen gehören und die Bildpunkte des ursprünglichen Schnittpunktes natürlich immer noch die einander am nächsten liegenden Punkte bleiben.

Bei der Verschiebung um den Vektor

(- 3 / 8 ∣ 3 / 8)

für

h

stellt sich dann die Ausgangssituation ein, wodurch auch ohne viel Differentialrechnung das Problem gelöst wäre.

Mfg Michael

DemetAlara aktiv_icon

17:42 Uhr, 13.02.2021

Dankeschön :-)

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