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(n-1)*(n-2)...*(n-(n-1)) zusammenfassen?!

Lehrer

Tags: Beweis, Fakultät, zusammenfassen

 
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MatSascha

MatSascha aktiv_icon

12:38 Uhr, 04.11.2014

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Moin,
ich beweise etwas, bzw. versuche dieses. Und zwar geht es um Extrempunkte für Potenzfunktionen (Allgemeingültigkeit usw., diesen Auftrag habe ich von meiner Lehrerin bekommen).

Jedenfalls scheitere ich, nachdem sich allgemein die hinreichende Bedingung nicht erfüllen ließ, am Bilden der n-ten Ableitung einer Funktion f(x)=a⋅xn.
Mir ist das Muster bekannt, denn z.B bei der fünften Ableitung lautet die Ableitung ja:
f'''''(x)=(n-1)⋅(n-2)⋅(n-3)⋅(n-4)⋅a⋅xn-5

Also allgemein muss ja am Ende stehen, so was wie (n-1)⋅(n-2)...... (n-(n-1)).

Kann ich eine solche Reihe auch zusammenfassen, z.B. mit der Fakultät? Ich hänge hier dran und komme wegen so was einfach nicht weiter...

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!

LG
Sascha


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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anonymous

anonymous

12:44 Uhr, 04.11.2014

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Wenn es das ist, dann ist es eigentlich einfach:
(n-1)⋅(n-2)⋅...⋅(n-(n-1))
=(n-1)⋅(n-2)⋅...⋅(n-n+1)
=(n-1)⋅(n-2)⋅...⋅(1)
=(n-1)!
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Bummerang

Bummerang

13:07 Uhr, 04.11.2014

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Hallo,

die k-te Ableitung ergibt sich für k≤n als f(k)(x)=a⋅n!(n-k)!⋅x(n-k). Deinem Ansatz mit der fünften Ableitung fehlt der erste Faktor n, denn bei jeder der fünf Ableitungen kommt ein Faktor dazu, d.h. es müssen, vom konstanten Faktor a abgesehen, noch fünf weitere Faktoren vorhanden sein. Bei Dir sind es nur vier! Für k>n ergibt sich die Ableitung zu Null, da die n-te Ableitung konstant ist: f(n)(x)=a⋅n!(n-n)!⋅x(n-n)=a⋅n!0!⋅x0=a⋅n!
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