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polynom 3. grades keine eine 2 nullstellen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

basti1337 aktiv_icon

21:54 Uhr, 22.04.2017

Hallo,

ich habe folgende Funktion

2x^3+2x^2+cx+d

ich soll jetzt

c

und

d

bestimmen so dass die funktion eine, zwei und keine nullen.

normaler weise würde ich ja für

x

eine nullstelle raten und die funktion dann durch x-die nullstelle teilen und danach die

p q

formel anwenden. Aber wie mache ich das jetzt mit

c

und

d

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

22:06 Uhr, 22.04.2017

"ich soll jetzt c und d bestimmen so dass die funktion eine, zwei und keine nullen."

Polynom dritten Grades hat immer eine Nullstelle, daher fällt schon das mit "keinen" weg.

Um nur eine Nullstelle zu bekommen, muss man

x - a

mit einem quadratischen Polynom

2 x^{2} + b x + f

ohne Nullstellen multiplizieren. Also muss man

a, b, f

passend finden, so dass

(x - a) (2 x^{2} + b x + f) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + . . .

ist und

2 x^{2} + b x + f

keine Nullstellen hat. Das ist nicht schwer, denn die 1. Bedingung erfordert nur

b - 2 a = 2

, und da

a

eigentlich beliebig sein kann, können wir

a = 0

nehmen und

b = 2

. Dann passt z.B.

f = 3

.
Also

x (2 x^{2} + 2 x + 3) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x

hat genau eine Nullstelle, damit kann man

c = 3

d = 0

nehmen.

Zwei Nullstellen sind nur möglich, wenn eine davon doppelt ist. Also ein Polynom der Form

(x - a)^{2} (2 x - 2 b)

. Wir können wieder

a = 0

nehmen und haben dann

x^{2} (2 x - 2 b) = 2 x^{3} - 2 b x^{2}

, was jetzt die Form

2 x^{3} + 2 x^{2} + c x + d

haben muss, woher

b = - 1

kommt. Also

2 x^{3} + 2 x^{2}

, mit

c = d = 0

. Nullstellen sind

0

und

- 1

basti1337 aktiv_icon

22:20 Uhr, 22.04.2017

Oh ich habe vergessen zusagen das es schon eine nullstelle gibt bei

x = 1

DrBoogie aktiv_icon

09:07 Uhr, 23.04.2017

Dann ist es noch einfacher. Dann hat das Polynom die Form

(x - 1) (2 x^{2} + a x + b)

,
also

2 x^{3} + (a - 2) x^{2} + (b - a) x - b

, woraus

a - 2 = 2

und

a = 4

folgt.
Also bleibt nur die Frage, bei welchen

b

hat

2 x^{2} + 4 x + b

keine, eine oder zwei Nullstellen.
Da

2 x^{2} + 4 x + b = 2 (x + 1)^{2} + b - 2

gilt, ist die Antwort: keine Nullstelle bei

b > 2

, eine bei

b = 2

und zwei bei

b < 2

.
Damit hat

2 x^{3} + 2 x^{2} + c x + d

, falls es

1

als Nullstelle hat, genau dann keine weitere Nullstellen, wenn

d = - b < - 2

, genau eine weitere, wenn

d = - b = - 2

usw.

abakus

09:12 Uhr, 23.04.2017

Ist schon berücksichtigt, dass x=1 auch die doppelte Nullstelle sein könnte?

Respon

10:44 Uhr, 23.04.2017

Polynomdivision durch

(x - 1)

liefert den formalen Rest

d + c + 4 [= 0] \Rightarrow d = - c - 4

Sonderfälle:

c = - 2

und

d = - 2 :

Nullstellen

x = 1

und

x = - 1 (

doppelt )

c = - 4

und

d = 0 :

Nullstellen

x = 1

und

x = 0

und

x = - 2

c = - 10

und

d = 6 :

Nullstellen

x = - 3

und

x = 1 (

doppelt )

c > - 2 :

Nullstelle nur

x = 1

c < - 2 : 3

Nullstellen ( Sonderfall

c = - 10)

Atlantik aktiv_icon

11:26 Uhr, 23.04.2017

Lösungen finden mit Herantasten:

Es sei bei

x = 1

eine doppelte Nullstelle.->

c, d =

f (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + c x + d

f

(x) = 6 x^{2} + 4 x + c

f

(1) = 6 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 + c

6 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 + c = 0

c = - 10

f (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x + d

f (1) = 2 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 10 \cdot 1 + d

2 + 2 - 10 + d = 0

d = 6

f (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x + 6

Für

c = - 10

und

d > 6

nur eine Nullstelle.

Weitere Lösungen:...

mfG

Atlantik

Respon

11:53 Uhr, 23.04.2017

" Für

c =

−10 und

d > 6

nur eine Nullstelle."
Das geht nicht, denn

d

ist von

c

abhängig

(d = - c - 4)

Würde man für

c = - 10

ein

d > 6

wählen, so gäbe es auch keine gegebene Nullstelle

x = 1

basti1337 aktiv_icon

12:41 Uhr, 23.04.2017

Damit hat 2x3+2x2+cx+d, falls es 1 als Nullstelle hat, genau dann keine weitere Nullstellen, wenn d=−b<−2, genau eine weitere, wenn d=−b=−2 usw.

Und wie komme ich dann auf

c

ledum aktiv_icon

12:45 Uhr, 24.04.2017

Hallo
alle post wirklich genau gelesen? auch den von

10.44

?
Gruß ledum

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