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reflexive/symmetrische/transitive Mengenrelation

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: mengen, Mengenlehre, Reflexivität, Relation., Symmetrie, Transitivität

eisberg23 aktiv_icon

15:25 Uhr, 21.05.2016

Hallo!

Folgende Fragestellung:

Geben Sie jeweils ein Beispiel einer Relation auf einer Menge an, die

a. reflexiv, aber weder symmetrisch noch transitiv ist

b. symmetrisch, aber nicht reflexiv oder transitiv

c. transitiv, aber nicht reflexiv oder symmetrisch

So wie ich die Aufgabe verstehe, muss ich mir zwei Mengen überlegen und dazu die o.g. Relationen aufstellen.
Mein Lösungsansatz ist:

Die Mengen M und N seien:

M = N = {1, 2, 3}

m R_{1} n < = > m = n

R_{1} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

m R_{1} n < = > (m + n \neq (n = m)) > 3

R_{2} = {(1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}

m R_{1} n < = > m = n

R_{3} = {(1, 2), (1, 3)}

Sind die Schreibweise und die Überlegungen mehr oder weniger korrekt? Kann man bei b. die Bedingung überhaupt so formulieren?

Danke schon mal, Rich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre
Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

16:47 Uhr, 21.05.2016

Dein Beispiel zu

a)

ist falsch, denn es ist sowohl symmetrisch, als auch transitiv

Beine Beispiele zu

b)

und

c)

sind OK

Es reicht vermutlich, wenn du einfach die Relationen aufzählend angibst. Das, was du da immer davor geschrieben hast ist eher irritiernd bis falsch - solltest du weglassen.
Zum Beispiel bei

c)

könntest du noch das Paar

(2,3)

dazu nehmen, damit die Transitivität nicht ganz so trivialerweise erfüllt ist. Aber dein Beispiel ist natürlich trotzdem OK.

Bei

c)

hast du irrtümlich die Beschreibung von

a)

kopiert und bei

b)

könntest du, wenn du es unbedingt brauchst, entweder

R_{2} := {(m; n) \subseteq M \times N | n \neq m \land n + m > 3}

schreiben, oder auch

m R_{2} n \Leftrightarrow m \in M \land n \in N \land n \neq m \land n + m > 3

R

eisberg23 aktiv_icon

18:00 Uhr, 21.05.2016

Klasse, danke dir!

ja, stimmt, bei c) sollte es, wie du schon gemerkt hast m < n heißen

Mit deinen Beispielen sehe ich das meine Schreibweise für die Relationen selbst stark vereinfacht ist.

Dein b) sieht auch top aus! Werde versuchen die anderen auch so sauber in der beschreibenden Schreibweise aufzuführen.

Warum ist a) eigentlich transitiv?
Ich dachte eigentlich:

Symmetrie:
xRy → xRy

also wenn das eine Element mit einem anderen in Relation steht, dannn steht auch das andere Element mit dem Einen in Relation, also die Elemente müssen dann gleich sein.

anders als bei Transitivität:

Transitivität:

xRy und yRz → xRz

Wenn man nun zwei Mengen auf diese Weise vergleicht trifft Symmetrie zu aber Transitivität nicht soweit ich das sehen kann.

Roman-22

18:17 Uhr, 21.05.2016

>

ja, stimmt, bei

c)

sollte es, wie du schon gemerkt hast

m < n

heißen
Dann musst du aber auch

(2,3)

dazu geben.
Ich dachte, du meintest

m R_{3} n \Leftrightarrow m = 1 \land n \in N

>

Warum ist

a)

eigentlich transitiv?
Weil hier gilt, dass mit

(a, b) \in R

und

(b, c) \in R

immer auch

(a, c) \in R

ist.
Die einzigen Beispiele, die man mit deiner Relation dazu bilden kann sind allerdings nur jene trivialen mit

a = b = c

.
Auch die leere Menge kann als transitive (und auch symmetrische) Relation aufgefasst werden. Du wirst jedenfalls kein Gegenbeispiel finden, sodass mit

(a, b) \in R

und

(b, c) \in R

dann

(a, c) \notin R

ist. Schlicht deswegen, weil du schon keine

(a, b) \in R

finden kannst.

>

Wenn man nun zwei Mengen auf diese Weise vergleicht trifft Symmetrie zu aber Transitivität nicht soweit ich das sehen kann.
Das verstehe ich jetzt nicht. Welche Mengen vergleichst du auf welche Weise und wie folgerst du durch diesen Vergleich Symmetrie, etc. ?

R

eisberg23 aktiv_icon

11:14 Uhr, 22.05.2016

also wir haben zwei Mengen N und M, mit jeweils den Elementen {1, 2, 3}, also einer Relation auf M.

Für mRn mit der Relation m = n: {(1,1), (2,2), (3,3)} gilt die Definition aus unserer Vorlesung "R heißt reflexiv, falls (a;a)

\in

R für alle a

\in

M gilt", wenn also die Elemente gleich sind.

Nach der Definition für Symmetrie ist R symmetrisch, wenn (a,b)

\in

\Rightarrow

(b, a)

\in

R für alle a,b

\in

M gilt.

Nach diesen Definitionen müssen in R a und b unterschiedliche/mit einander austauschbare Zahlenpaare sein, um die Bedingung für Symmetrie zu erfüllen und gleich sein um die Bedingung für Reflexivität zu erfüllen.

So haben wir uns das in der Vorlesung aufgeschrieben.

Hab mal einen Screenshot angehangen, wie da die Beispiele aussahen.

eisberg23 aktiv_icon

07:30 Uhr, 23.05.2016

Hey Leute,

heute Nachmittag ist Deadline, deswegen pushe ich hier mal kurz aus Not :-)

Gruß, Rich

Roman-22

00:38 Uhr, 24.05.2016

Im Gegensatz zur Reflexivität sind Symmetrie und Transitivität keine Eigenschaften, die für alle Paare aus

M \times M

gelten müssen.
ZB Symmetrie:

(b; a)

muss nur dann in

R

enthalten sein, wenn

(a; b) \in R

ist.
Wenn also

(2; 3) \notin R,

dann gibt es keinen Grund, warum

(3; 2) \in R

sein sollte. Im Gegenteil, dann darf (für Symmtrie)

(3; 2)

gar nicht in

R

sein.

Reflexiv heißt FÜR ALLE

m \in M

gilt

(m; m) \in R

Aber Symmetrie bedeutet nur WENN

(n; m) \in R,

DANN muss auch

(m; n) \in R

sein.
Wäre es so, wie du es fälschlicherweise angenommen hast, dann wäre ja nur

M \times M

selbst symmetrisch, denn jede echte Teilmenge von

M \times M

enthält ja das eine oder andere Paar nicht.

Noch anders formuliert: Die Symmetrie ist nur dann verletzt, wenn du ein Paar

(n; m) \in R

findest, dessen Gegenspieler

(m; n)

aber nicht in

R

ist. Das wird dir in

R = {(m; m) | m \in M}

aber nicht gelingen.

R

eisberg23 aktiv_icon

19:31 Uhr, 25.05.2016

Danke dir werde mich noch weiter da reindenken :-)

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