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transponierte mATRIX

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Beweis, Rechenregel, Transponierte Matrizen

 
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Elphaba

Elphaba aktiv_icon

00:03 Uhr, 30.04.2009

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Hallo,

ich hätte da mal eine Frage zur transponierten Matrizen.
Ich hab zwar verstanden, dass man salopp gesagt einfach Zeilen und Spalten vertauscht.
Aber mir ist nicht klar, wo diese Rechenregeln herkommt.

(A*B)^(tr)=B^(tr)*A^(tr)

Wäre lieb, wenn einer noch ne schnelle Erklärung parat hätte

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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el holgazán

el holgazán aktiv_icon

00:43 Uhr, 30.04.2009

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Also der mathematische Beweis sieht folgendermassen aus:

Sei A eine n×m Matrix mit Einträgen aij und B eine m×p Matrix mit Einträgen bij.

Für den Eintrag ij der Matrix BT⋅AT gilt:
(BT⋅AT)ij=∑k=1m(BT)ik(AT)kj=∑k=1mbkiajk=∑k=1majkbki=(A⋅B)ji=(A⋅B)ij

Also gilt BT⋅AT=(A⋅B)T

Im Prinzip kann das gar nicht viel anders sein, wenn du dir mal nicht-diagonale Matrizen anschaust. Bei diesen kannst du im Allgemeinen ATBT gar nicht bilden wenn AB funktioniert.

Das hat mit der Definition der Matrixmultiplikation zu tun. Mach dir mal eine Zeichnung von zwei Matrizen und markiere eine Zeile bei der linken und eine Zeile bei der rechten Matrix. Dann Transponierst du beide. Um die zwei markierten Zeilen/Spalten mit Matrixmultiplikation zusammen zu rechnen, musst du die Matrizen vertauschen. Etwa so:

(*¯)(∣*)
Transponieren
(∣*)(*¯)
und nun musst du sie vertauschen
(*¯)(∣*)

Wenn du das nun nicht mit der obersten Zeile und der Spalte ganz links machst, sondern z.b. mit der 2. Zeile und der 1. Spalte siehst du, dass du dann noch im letzten Schritt das Resultat noch transponieren musst.

Naja, eine bessere, anschaulichere Erklärung fällt mir leider im Moment auch nicht ein.