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trigonometrische Form komplexer Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Trigonometrie

ImaraFlux aktiv_icon

16:54 Uhr, 04.06.2012

Hi Leute Ich habe leider Probleme damit gegebene komplexe Zahlen in die trigonemtrische bzw Euler´sche Form umzustellen. Genau genommen macht mir der Winkel

/ φ

Ich habe die Formeln aber ich komme einfach nie auf den korekten Winkel

Eine Beispiel Aufgabe wäre

z = - 5 i

Die gegebene Lösung

z = 5 (cos

3pi/2i

+ sin

3pi/2)

Ich hab versucht nach diversen Formeln und sonst was vorzugehen aber ich schnalls echt nicht Also hab ich gerechnet

cos (φ) = \frac{a}{r}

und

sin (φ) = \frac{b}{r}

bzw hab ich versucht mich an Formeln für das Argument von

z

zu halten was aber irgendwie auch nicht geht. also:

phi=arg(z)=arctan

\frac{b}{a}

für

a > 0, b

beliebig =arctan

\frac{b}{a} + π

für

a < 0, b \geq 0

..usw

Aber auch da kan ich auf kein sinnvolles Ergebnis

r

zu Erhalten ist nicht das Problem aber dieser Winkel.. ich sitze seit Tagen da drüber und finde einfach nicht raus warum ich es nicht verstehe bzw wie ich es Lösen muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

pwmeyer aktiv_icon

19:39 Uhr, 04.06.2012

Hallo,

woran liegts denn?

Wenn es um

z = - 5 \cdot i

geht, was ist dann

r, a, b

?

Was folgt dann für

φ,

wenn

cos (φ) = \frac{a}{r}

ist und dann wenn auch noch

sin (φ) = \frac{b}{r}

sein soll?

Gruß pwm

ImaraFlux aktiv_icon

20:05 Uhr, 04.06.2012

Naya ich komm mit dem

Π

kram nich wirklich klar denk ich ich weiß

liegt der Punkt auf der positiv. reell. Achse

\to φ = 0

wenn pos. imaginäre Achse

\to

phi=05pi
wenn neg. rell. Achse

\to φ = π

wenn neg. ima. Achse

\to

phi=1,5pi
wenn einmal rum

\to

phi=2pi

aber bei dieser jenen Aufgabe liegt der Punkt ja auf neg. ima. Achse was mich zum Schluss bringt da muss

φ

1,5pi sein..

also ich hab für

r = | z | = 5

a = o

b = - 5

cos (φ)

müsste dann ja

\frac{0}{5}

sein was

= 0

ist
und

sin (φ) \frac{5}{5} = 1

Oder lieg ich da irgendwo komplett falsch? Weil das denk ich langsam

: (

prodomo aktiv_icon

09:06 Uhr, 05.06.2012

Mir scheint, dir ist einfach das Bogenmaß nicht vertraut.
Statt die Winkel in Grad zu messen, kann man sie auch messen, indem man den zugehörigen Kreisbogen auf dem Einheitskreis (um Ursprung mit

r = 1)

abmisst. Für eine ganze Umdrehung erhält man

2 \cdot π \cdot 1

mit der Umfangsformel, das entspricht

360

Grad. Jetzt geht es einfach proportional: Grad in Bogenmaß: (Gradzahl durch

360) \cdot 2 \cdot π

und umgekehrt. Da

π

eine irrationale Zahl ist, gibt man das Bogenmaß gerne in Bruchteilen von

π

an.
Bei komplexen Zahlen ist

φ

der Winkel, um den der Pfeil gegen die reelle Achse linksherum verdreht ist.

z = - 5 i

hat also die Länge 5 und ist um

270

Grad bzw.

\frac{3}{2} \cdot π

gegen die reelle Achse gedreht.
Aus

z = a + b \cdot i

folgt mit den Definitionen für sin und

cos

sowie die Länge

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

dann

a = | z | \cdot cos (φ)

und

b = | z | \cdot sin (φ)

pwmeyer aktiv_icon

09:53 Uhr, 05.06.2012

Hallo,

du hast also

cos (φ) = 0

heraus, daraus folgt:

φ = \frac{π}{2}

oder

φ = 3 \cdot \frac{π}{2}

Aus der zweiten Angabe:

sin (φ) = \frac{b}{r} = - \frac{5}{5} = - 1

(hier hast du dich vertan) folgt dann

φ = 3 \cdot \frac{π}{2}

Gruß pwm

ImaraFlux aktiv_icon

15:36 Uhr, 05.06.2012

@prodomo

"Grad in Bogenmaß: (Gradzahl durch 360)⋅2⋅π und umgekehrt"
>Aber woher nehme ich diese Gradzahl

"z=−5i hat also die Länge 5 und ist um

270

Grad bzw. 32⋅π gegen die reelle Achse gedreht."
>Wie komm ich auf die 270°

Ich hab aufn Rechner jetzt bei Angle auf "rad" "deg" und "grad" gestellt aber immer kommt

6,28 .

. Ich dachte im Abi haben wir da mit rad irgendwas gemacht und dan mit tan aber so wirklich bekomm ich das nich mehr zusammen bzw hab ich in Bücher und so auch noch nix gefunden.. das Bogenmaß zeug verwirrt mich total und je öfter ich deinen Text les desto weniger schein ich es zu verstehen

@pwmeyer
sorry beim 2. hatte ich das - unterschlagen,

- 1

stimmt natürlich..

Das die von dir genannten ergebnisse dann folgen weiß ich auch aber ich weiß nicht wie ich darauf komme, das ist ja mein Problem

Edddi aktiv_icon

15:51 Uhr, 05.06.2012

. .

. ich fass' mal zusammen:

z = a + b \cdot i

mit

\frac{a}{r} = cos (φ)

und

\frac{b}{r} = sin (φ)

ergibt sich durch einsetzen:

z = a + b \cdot i

z = r \cdot cos (φ) + r \cdot sin (φ) \cdot i

z = r \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

Du hast

z = - 5 \cdot i

gegeben, dies kannst du auch so schreiben:

z = 5 \cdot (0 - 1 \cdot i)

Hier siehst du, dass:

0 = cos (φ)

und

- 1 = sin (φ)

sein muss.

0 = cos (φ)

ergibt ein

φ

von

\frac{π}{2}

oder

\frac{3}{2} \cdot π

- 1 = sin (φ)

ergibt ein

φ

von

\frac{3}{2} \cdot π

Lösung ist also

φ = \frac{3}{2} \cdot π =

270°

da dieser Wert beide Bedingungen erfüllt.

;-)

ImaraFlux aktiv_icon

16:51 Uhr, 05.06.2012

Ja aber wie komm ich denn von den errechneten Werten0 und

- 1

auf diese diversen

π

Werte.

Also waaarum ergibt 0=cos(φ) ein φ von π2 oder 32⋅π

Wie rechne ich das um oder was muss ich mit der 0 machen damit dann dort 3/2pi steht?

Das ist mein Problem aber irgendwie sagen mir alle nur das da was mit

π

rauskommt

: (

prodomo aktiv_icon

18:11 Uhr, 05.06.2012

Lass mal deinen Taschenrechner beiseite und nimm ein Lineal. Zeichne dir ein Koordinatensystem mit reeler und imaginärer Achse und trage

z = - 5 \cdot i

ein. Das ist ein Pfeil vom Ursprung zu

(0 | - 5)

(ich benutze mal reelle Koordinaten, weil du die wahrscheinlich besser kennst=, also 5 Einheiten vom Ursprung aus senkrecht nach unten. Jetzt stelle dir vor, dieser Pfeil hätte ursprünglich entlang der reellen Achse gezeigt, also zu

(5 | 0),

und wäre dann in die jetzige Lage gedreht worden wie ein Uhrzeiger (allerdings immer linksherum in der Mathematik). Dann hätte er ein 3/4-Drehung, also

270

Grad gebraucht. Das meint man mit "Winkel gegen die reelle Achse".

ImaraFlux aktiv_icon

18:15 Uhr, 05.06.2012

Das hab ich schon verstanden, ich hatte mir das auch schon aufgemalt aber ich weiß halt nich wie ich das errechne mit der Gradangabe.

Ich mein so ein paar dinger stehn ja im Tafelwerk aber ich muss da auch rechnerisch irgendwie drauf kommen (siehe meinen vorhergehenden post)

Edddi aktiv_icon

08:05 Uhr, 06.06.2012

...du scheinst mit den Eigenschaften der Winkelfunktionen und ihnen selber noch Probleme zu haben. Da solltest du mal ein bisschen nachholen.

So ist

z . B

.

sin (0°)=

sin (0) = 0

sin (90°)=

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (180°)=

sin (π) = 0

sin (270°)=

sin (\frac{3}{2} \cdot π) = - 1

sin (360°)=

sin (2 \cdot π) = 0

wobei die Umrechnung in radiant wie folgt vorzunehmen ist:

\frac{360}{φ} = \frac{2 \cdot π}{\bar{a}}

wobei

\bar{a}

das Bogenmaß ist, deswegen ist:

φ = \frac{360}{2 \cdot π} \cdot \bar{a} = \frac{180}{π} \cdot \bar{a}

Also ist für

sin (φ) = - 1

der Winkel

φ = \frac{3}{2} \cdot π

oder

φ =

270°

Berechnen kannst du dies mit den Umkehrfunktionen auf deinem TR:

phi=arcsin(-1)

je nachdem, was du eingestellt hast auf deinem TR (DEG für Grad, RAD fürs Bogenmaß), spukt er dir das entspr. Ergebnis raus.

;-)

ImaraFlux aktiv_icon

14:51 Uhr, 07.06.2012

Okay das hat mir sehr weitergeholfen, jetz komm ich auch auf richtige Ergebnisse

; D

Vielen dank euch allen!

ImaraFlux aktiv_icon

14:52 Uhr, 07.06.2012

Okay das hat mir sehr weitergeholfen, jetz komm ich auch auf richtige Ergebnisse

; D

Vielen dank euch allen!

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