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unterräume Basis summe schnitt

Universität / Fachhochschule

Tags: basis, Schnitt, Summe, Unterraum

Flo27 aktiv_icon

17:04 Uhr, 29.08.2012

Ich habe nochmal ein paar Fragen, wäre super, wenn ihr mir helfen könntet:

Ich tippe einfach mal die Aufgabe ab.
Gegeben seien die beiden Unterräume:

U1:={(x1,x2,x3): 2x1+4x2-4x3=0}

U2:={(x1,x2,x3): -x1+2x2-4x3=0}

Geben Sie jeweils eine Basis der beiden Unterräume U1 und U2 , dem Durchschnitt U1 geschnitten U2 und der Summer U1+U2 an.

Folgendes habe ich gemacht:

U1: x2, x3 frei
1) x2=1 x3=0 2) x2=0 x3=1
2x1=-4 2x1=4
x1=-2 x1=2

B={(-2,1,0), (2,0,1)}

U2: x2, x3 frei
1) x2=1 x3=0 2) x2=0 x3=1
x1=2 x1=-4

B={(2,1,0), (-4,0,1)}

B U1 geschnitten U2={}

BU1+U2={(2,1,0), (0,3,0), (0,-1,1)}

Bei der Summe habe ich die 4 Basisvektoren genommen, die ich ursprünglich hatte, habe sie untereinander geschrieben und auf lineare Unabhängigkeit geprüft.
Beim Schnitt habe ich geschaut, welche(n) Basisvektor(en) beide U gemeinsam haben. --> Keinen.

Kann ich das so machen, oder stimmt das so nicht?

Danke schon mal

lg

Flo27

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lagebeziehung Gerade - Gerade
Logarithmusgesetze - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

20:41 Uhr, 29.08.2012

Hallo,

die Basis von

U_{1}

habe ich mir angeschaut. Sie ist korrekt.
Daher gehe ich davon aus, dass die Basis von

U_{2}

auch korrekt ist.
Allerdings hast du nun die Basis von

U_{1} \cap U_{2}

nicht bestimmt. Du hast den Durchschnitt der beiden Basen bestimmt. Der ist wohl leer.

Allerdings ist der Durchschnitt

U_{1} \cap U_{2}

nicht leer (den Nullvektor enthält ja jeder Unterraum). Es ist sogar noch schlimmer, da

U_{1}

und

U_{2}

ℝ^{3}

Ebenen darstellen (allerdings nicht die gleichen, wie man leicht nachrechnet). Da sie aber mindestens den Nullvektor gemeinsam haben, können sie auch nicht parallel sein. Infolge dessen muss es eine Schnittgerade (durch den Nullpunkt, na klar!) geben. Deren Richtungsvektor wäre ein geeigneter Kandidat für eine Basis von

U_{1} \cap U_{2}

.

Alles klar?

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

20:48 Uhr, 29.08.2012

Ja, bis dahin kann ich dir super folgen und verstehe was du meinst. Aber wie komme ich dann auf den Vektor U1 geschnitten U2 bzw auf die Basis der Schnittmenge?

Meine Vorgehensweise bei U1+U2, war die richtig?

michaL aktiv_icon

21:55 Uhr, 29.08.2012

Hallo,

die Summe machen wir gleich...

Zur Bestimmung der Schnittmenge: Im Prinzip geht es um die Berechnung der Schnittgeraden zweier sich schneidener Ebenen. Das macht man doch in der Schule?! Eine Idee dazu?

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

22:07 Uhr, 29.08.2012

Nein, leider keine Idee, da ich das in der Schule nie hatte.

michaL aktiv_icon

22:47 Uhr, 29.08.2012

Hallo,

Gottseidank gibt es im Internet jede Menge Suchmaschinen.

Dort findest du etwa, wie man Koordinatenformen in Parameterformen umrechnen kann:
http//www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/ebenen-vektoriell/umrechnen-zwischen-ebenengleichungen/#abschnitt-5.

Außerdem, wie man die Schnittgerade zweier Ebenen in Parameterform berechnet (sogar als Video, wenn ich das richtig gesehen hab): www.unicum.de/abizeit/abi-meistern/lernvideos-fuers-abitur-mathematik/thema/ebenen/video/1731

Aber das kann man sich auch selbst zusammensuchen... (studere: lat. sich bemühen).

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

23:03 Uhr, 29.08.2012

Hallo,

als ich heute gesucht habe, zu meiner Frage, habe ich nichts gefunden, was mir half. Deshalb frage ich ja hier. Kannst du mir das vill erklären, was ich falsch gemacht habe und wie ich es machen muss. LEider kam ich zu spät auf die Idee mit dem Forum, habe ab morgen mittag 17 Uhr leider kein Internet mehr.

Dankeschön :-)

MfG

Flo27

michaL aktiv_icon

23:27 Uhr, 29.08.2012

Hallo,

alle Elemente

x

von

U_{1}

sind (wenn deine Basis korrekt ist) folgendermaßen darstellbar:

x = λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Alle Elemente

x

von

U_{2}

sind (wenn deine Basis korrekt ist) folgendermaßen darstellbar:

x = ν \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + ξ \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Ist nun

x

Element BEIDER Unterräume, so muss also

λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = x = ν \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + ξ \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array})

gelten (gleichsetzen, wie in der Schule).

Also musst du das Gleichungssystem

λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = ν \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + ξ \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array})

lösen.

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

23:30 Uhr, 29.08.2012

Und das was ich da rausbekomme ist dann meine Basis bzw, zuerst meine Basisvektoren?

Danke, du bist ein Schatz :-)

Flo27 aktiv_icon

23:34 Uhr, 29.08.2012

Jetzt wag ich mich mal ganz weit vor. Bei der Summe nehme ich dann meine Vektoren, addiere sie zusammen, mit Skalaren, und mache gleich dem Nullvektor?

michaL aktiv_icon

23:52 Uhr, 29.08.2012

Hallo,

zur ersten Sache noch (

U_{1} \cap U_{2}

): Das ist ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten bei nur 3 Gleichungen. Kannst du damit umgehen? Du musst dir eine Gleichung zwischen

λ

und

μ

bzw. eine zwischen

ν

und

ξ

finden, in die entsprechende Darstellung einsetzen.

Wenn du etwa die GLeichung

λ = 2 μ

erhältst, setzt du in der Darstellung

x = λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})

für

λ

den Term

2 μ

und klammerst

μ

aus. Der Vektor dahinter ist dann ein Kandidat für die Basis von

U_{1} \cap U_{2}

.

Zum anderen Problem: ich fürchte, du hast nicht verstanden, was

U_{1} + U_{2}

für ein Gebilde ist, oder?
Da ist die Sache eigentlich noch einfacher: Wenn du die beiden Basen von

U_{1}

und

U_{2}

vereinigst, dann hast du ein ERZEUGENDENSYSTEM für

U_{1} + U_{2}

(warum?).
Es ist genau dann schon eine Basis, wenn

U_{1} \cap U_{2} = {0}

gilt, was aber hier nicht der Fall ist. Du musst aus der Vereinigung der beiden Basen nur eine maximal linear unabhängige Teilmenge suchen.
Wie viele das sind, sagt dir der Rang DERjenigen Matrix, die du erhältst, wenn du die Basisvektoren beider Unterräume als Spalten schreibst. Aus Gradgründen muss das in deinem Fall 3 sein.

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

00:13 Uhr, 30.08.2012

Vielen Dank schon mal. Da ich doch ziemlich erschöpft bin, würde ich mir das morgen nochmal genau durchlesen, jetzt habe ich gerade eine Menge Fragen dazu. (Ich stell sie einfach, dann kann ich morgen die Antwort lesen :-))

Zum Schnitt, kann ich nicht alle Vektoren auf eine Seite bringen, gleich dem Nullvektor, ausrechnen und für Lambda 4 = t machen? Dann würde ich wahrscheinlich nur einen Basisvektor erhalten, aber das ist ja egal.

Das mit, ich muss eine Gleichung "zwischen" lambda und mü finden, verstehe ich nicht.
Bei deinem Bsp. hätte ich dann mü(-2, 2, 1) richtig?

Warum habe ich ein EZS für U1+U2. JEde Basis ist doch schon ein minimales EZS.

Mein Rang der matrix gibt mir an, wieviele Basisvektoren ich habe bei U1+U2? Und diese schreibe ich dann zeilenweise oder spaltenweise auf? In dem einen Buch springt der Autor immer hin und her. Weiß nicht, ob das schlimm ist. Es verwirrt mich aber.

Ich hoffe ich erreiche dich morgen mittag. Wäre super. Bis hierhin vielen lieben dank schon mal. gn8

Flo27

hagman aktiv_icon

23:24 Uhr, 30.08.2012

U_{1}

enthält alle Vektoren, die bezüglich des Standardskalarproduktes senktrecht auf

(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})

sind, und

U_{2}

alle, die senkrecht zu

(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 4 \end{matrix})

sind.
Kennst du eine Operation im

ℝ^{3},

die aus zwei Vektoren einen dritten macht, der auf beiden senkrecht steht?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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