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was heißt x gegen 0 laufen beim Rechnen?

Schüler

Tags: Differenzenquotient, Differntialquotient

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18:37 Uhr, 12.10.2012

Hallo!

Ich bin gerade dabei mir die Ableitungen anzuschauen. Dazu habe ich eine Frage:

Die mittlere Steigung in einem Intervall rechnet man ja mit dem Differenzquotienten. Bei dem Beispiel, das ich hier habe, kommt da am Schluss folgendes raus:

6 x^{2} + 8 x + 6 x \cdot Δ x + 4 \cdot Δ x + 2 \cdot {(Δ x)}^{2}

Jetzt geht's darum, wie ich hier zum Differentialquotienten komme. Meine Frage ist: wenn ich

x

gegen Null laufen lasse, muss ich dann

x

immer einfach nur

= 0

setzen? Also hier für alle

Δ x

Null einsetzen und dann schauen, was übrigbleibt? (Hier ja dann

6 x^{2} + 8 x)

.

Vielen Dank für etwaige Rückmeldungen!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)

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f' (x)

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Underfaker aktiv_icon

19:43 Uhr, 12.10.2012

Ich werde nicht ganz schlau aus deiner Aufgabe, ist

Δ

eigenständig oder heißt eine Variable "

Δ x

"?

Denn wenn du "x gegen 0 laufen lässt" dann fiele alles weg, denn auch in

6 x^{2} + 8 x

gibt es in jedem Summanden ein

x

.
Wenn dann müsste in sämtliche Summanden

Δ | Δ x

gegen 0 gehen.

Zu der Frage, Null einsetzen:
Betrachte doch einmal die Funktion:

f (x) = \frac{1}{x}

Wenn man hier wissen möchte, was an der Stelle 0 passiert, dann nähert man sich auch der Null, man kann sie jedoch nciht einsetzen, da das Teilen durch Null nicht definiert ist, hier wäre wirklich nur eine Näherung möglich.

In den Fällen, wo ein Term für

x = 0

definiert ist, kann man Null auch einsetzen.

Beispiel: Betrachte das Verhalten der Funktion

g (x) = \frac{1}{e^{x}}

an der Stelle

x_{0} = 0

Hier gibt es kein Problem die Null einzusetzen:

g (0) = \frac{1}{1} = 1

Die Funktion hat keinen Sprung, ist stetig und hat an der Stelle den funktionswert 1.

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22:35 Uhr, 12.10.2012

Hallo!

Also das soll

Δ x

heißen... die gehören zusammen.

Nun, ich dachte, man muss ja aus dem

Δ

das

d

fürs Differential machen... und dann muss man ja auch nur diejenigen

x

gegen Null laufen lassen, die ein

Δ

haben (bzw. dann ein

d)

.

Ich habe da noch eine Übung, bei der ist es gleich. Da wird die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt 5 gemessen. Zuerst wird dann die Sekantensteigung berechnet und es kommt

10 + h

raus (das

h

steht im Differenzquotienten).

Dann wird

h

gegen null gelaufen, also

lim h \to 0 (10 + h)

und das

h

fällt dann einfach weg. Was ja auch Sinn macht, denn die Ableitung von

10 + h

ist ja

10

.

Verstehe ich hier was komplett falsch? Ich glaube, mein Problem ist das mit dem Grenzwert. Ich verstehe nicht,wie das beim Rechnen dann genau aussieht, wenn man irgendwas gegen 0 laufen lässt.

pwmeyer aktiv_icon

16:25 Uhr, 13.10.2012

Hallo,

Deine Ausdrucksweise bzgl

Δ x

war etwas missverständlich: Das

Δ x

ist einfach eine Variable und die "geht gegen 0" genauso wie in dem anderen Beispiel das

h

.

Für dieses "geht gegen 0" gibt es eine exakte mathematische Definition, die Ihr anscheinend nicht besprochen habt. Aber wenn das

Δ x

oder das

h

in einem elementaren Rechenausdruck vorkommt und man kann es problemlos durch 0 ersetzen

(z . b

. es entsteht keine Division durch

0)

dann kann man tatsächlich "geht gegen 0" einfach als "wird zu 0" verstehen.

Gruß pwm

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19:59 Uhr, 13.10.2012

Ah okay, dann vielen Dank für die Antwort!

Wie wäre es denn dann, wenn man eine Funktion

\frac{1}{x}

hätte, bei der

x

gegen Null geht?

tommy40629 aktiv_icon

11:04 Uhr, 14.10.2012

Nähere Dich doch mal von links der Null also z.B. von der -1 aus

Dann setzt du -0,5 -0,25 -0,125 -0,01 -0,0001 bist Du keine Lust mehr hast ein und schaust Dir die Funktionswerte an.

Das Gleiche machst Du von rechts aus, z.B. von der +1 aus.

Für x 1 0,5 0,2 0,1 0,01 0,0001 0,000001... einsetzen und die Funktionswerte anschauen.

Dann siehst Du was passiert....

Underfaker aktiv_icon

11:32 Uhr, 14.10.2012

Du hast bisher noch nichts von Limes geschrieben. dann empfiehlt es sich durchaus Werte wie:

x = 0,001

x = 0,00000001

einzusetzen und zu sehen was passiert, dasselbe für

x = - 0,001

x = - 0,00000001

Ansonsten ginge es auch so:

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (lim =

Limes) bedeutet wir nähern das

x

im Ausdruck von Rechts der Null an.

Das ist dasselbe wie

lim_{h \to \infty} \frac{1}{0 + \frac{1}{h}}

denn wenn

h

immer Größer wird, wird

\frac{1}{h}

immer kleiner und nähert sich auch der Null, das könnte für dich eventuell zu viel sein?! Ich mcöhte es nur mal der Vollständigkeit halber hier schreiben.

Also

lim_{h \to \infty} \frac{1}{0 + \frac{1}{h}} = lim_{h \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{h}} = lim_{h \to \infty} h = \infty

Analog dazu:

lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = lim_{h \to - \infty} \frac{1}{0 + \frac{1}{h}} = - \infty

Wie gesagt, wenn ihr das so nicht hattet, "reicht" es wohl charackteristisch, Werte einzusetzen.

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13:56 Uhr, 16.10.2012

Okay, danke! Das mit dem Einsetzen machts mir klarer!

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