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zur Orthonormalbasis ergänzen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: basis, Determinanten, ergänzen, Orthonormalbasis

candyan aktiv_icon

23:20 Uhr, 16.07.2016

Hallo ihr Lieben,

Kurz vor meiner Klausur bräuchte ich nochmal eure Hilfe:
Es geht um Orthonormalbasen. Aufgabe hierzu:

"Ergänzen Sie

\frac{1}{2} (1, - \sqrt{3})

zu einer Orthonormalbasis des

ℝ^{2}

"

Ich weiß nur, dass

| | b_{i} | | = 1

und

< b_{i}, b_{j} > = 0

für

i \neq j

und

= 1

für

i = j

(orthogonal & senkrecht)
Kann mir jemand sagen, wie genau ich das berechne?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Apilex aktiv_icon

00:05 Uhr, 17.07.2016

Schritt 1: Deinen ersten Vektor nehmen und nomieren
Sei

v = \frac{1}{2} \cdot (1; - \sqrt{3})

\to v' = \frac{v}{| v |} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (1; - \sqrt{3})}{\sqrt{\frac{1}{4} + 3}}

Danach eine beliebigen anderen Vektor nehmen der nicht linear abhängig ist

\to

Bsp

w = (1,0)

Danach musst du den Teil von deinem Vektor finden der senkrecht auf

v'

steht

\to w - (< w, v >) \cdot v

wobei

(< w, v >)

die länge des in Richtung von

v

laufenden teils von

w

angibt (projektion von

w

auf

v)

\to

das ganze dann wieder nomieren ergibt den 2. gesuchten orthogonalen nnormierten basisvektor.

Das geht auch für beliebig große ergänzung über das :Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

candyan aktiv_icon

17:49 Uhr, 17.07.2016

Okay vielen Dank für die Antwort. Habe es jetzt mal mit diesem Weg versucht und bin auf das Ergebnis

v_{1} = \frac{1}{\sqrt{\frac{13}{4}}} (0,5; - \frac{\sqrt{3}}{2})

und

v_{2} = \frac{1}{13 \sqrt{\frac{147}{169}}} (12; - \sqrt{3})

Als Lösung ist mir

\frac{1}{2} (\sqrt{3}, 1)

angegeben... Kann meine Lösung trotzdem eine richtige sein?
Und dieses Ergebnis scheint mir irgendwie "einfacher" erreicht worden zu sein... gibt es eventuell noch eine andere Methode? Vor allem wenn nur "ergänzt" werden soll und nur ein Vektor gegeben ist...

candyan aktiv_icon

17:55 Uhr, 17.07.2016

Andere Aufgaben wären:

\frac{1}{2} (- \sqrt{2}, \sqrt{2}, 0), (0, 0, - 1)

zu ONB des

ℝ^{3}

Lösung:

\frac{1}{2} (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)

Apilex aktiv_icon

18:21 Uhr, 17.07.2016

sorry mein Fehler
bei

v' = \frac{v}{| v |} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (1; - \sqrt{3})}{\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}

hab vergessen die

\frac{1}{2}

bei

- \sqrt{3}

mit zunehmen

\to

dann kommt auch raus das der Vektor schon nomiert ist da

\to \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} = 1

An sich können genau zwei mögliche Ergebnis herauskommen

\to \frac{1}{2} (\sqrt{3}; 1)

und

- \frac{1}{2} (\sqrt{3}; 1) \to

dazu geometrisch Vorstellen wieviele Möglichkeiten gibt es pfeile mit länge 1 senkrecht zu deinem ersten einzuzeichnen

Bei erweiterung einer ON basis von

ℝ^{2}

ℝ^{3}

reicht einfach die verwendung des Kreuzproduktes ergibt einen orthogonalen Vektor den einfach nomieren(falls notwendig) -fertig

Mann kann auch die erweitwerung eine ON-Basis von

ℝ

nach

ℝ^{2}

über das kreuzprodukt lösen

\to

dafür sich eine imaginäre 3. dimension denken

\to

Bsp

. : v = \frac{1}{2} \cdot (1; - \sqrt{3}) = > \frac{1}{2} \cdot (1; - \sqrt{3}; 0)

und dann das Kreuzprodukt bilden mit

(0; 0; 1)

- \frac{1}{2} \cdot (1; - \sqrt{3}; 0) \times (0; 0; 1)

das ergibt dann einen Vektor der Senkrecht zu

v

liegt und zur 3. dimension liegt.

Dann einfach die 3. dimension (

|

in der hier eine Null steht) wieder vergessen und ihn als 2 dimensionalen Vektor interprätieren und danach nomieren - fertig

candyan aktiv_icon

22:12 Uhr, 17.07.2016

Damit ich es richtig verstanden habe:

Ich nehm meinen Vektor und schau ob er normiert ist, also ob

\frac{w}{| | w | |} = 1

Wenn das nicht

= 1

nehm ich das Ergebnis von der Gleichung?
Und dann denke ich mir eine Dimension dazu und mein gesuchter Vektor ist dann

< (x, y, ...,0), (0,0, ...,1) >

Apilex aktiv_icon

22:21 Uhr, 17.07.2016

ein Vektor

v

ist normiert wenn

| v | = 1

\to

der Vektor

v' = \frac{v}{| v |}

ist immer normiert und wird auch "v normiert" genannt

Der zweite Weg geht über das Kreuzprodukt(nicht Skalarprodukt)
Dafür 3. dimension hinzudenken

\to (1; 0)

wird zu

(1; 0; 0)

> (0; 1)

wird zu

(0; 1; 0)

usw.
dann das Kreuzprodukt deines ON-Bsisvektors mit

(0; 0; 1)

berechnen

v' \times (0; 0; 1) \to

ergibt einen orthogonalen vektor

\to

diesen dann normieren damit er orthonormal wird

\to

orthogonal - steht senkrecht auf anderen Vektoren

\to

orthonormal - ist orthogonal und hat Betrag 1 (ist normiert)

candyan aktiv_icon

22:24 Uhr, 17.07.2016

Damit ich es richtig verstanden habe:

Ich nehm meinen Vektor und schau ob er normiert ist, also ob

\frac{w}{| | w | |} = 1

Wenn das nicht

= 1

nehm ich das Ergebnis von der Gleichung?
Und dann denke ich mir eine Dimension dazu und mein gesuchter Vektor ist dann

< (x, y, ...,0), (0,0, ...,1) >

Apilex aktiv_icon

22:32 Uhr, 17.07.2016

ich nehme mal an das war nicht so gewollt(der doppel post), falls doch verweise ich nochmal auf meinen davorliegenden post.

noch ein Beispiel zu dem oben beschrieben

ON-Bsisvektor

\to v = ((1; 2)) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}

\to v (1; 2; 0) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \times (0; 0; 1) = (2 - 0; 0 - 1; 0) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \to (2; - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \to

ist schon normiert

\to

zweite ON-Basisvektor ist

(2; - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}

ledum aktiv_icon

22:48 Uhr, 17.07.2016

Hallo
ich denke, das mit dem Vektorprodukt ist nicht sehr sinnvoll,
mach es lieber mit Gram - Schmidt, das ist schnell und neigt nicht zu Fehlern aber wenigstens nur in

ℝ^{3}

mit dem Vektorprodukt, , und nur wenn schon 2 zueinander senkrechte Einheitsvektoren gegeben sind.
Gruß ledum

candyan aktiv_icon

00:38 Uhr, 18.07.2016

Vielen dank für eure Mühe!! Jetzt habe ich einen kleinen Überblick und verzweifle nicht völlig in der Klausur wenn ich das Wort "Orthonormalbasis" sehe.

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