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1 Ableitung bilden, x hoch x

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Frosch1964 aktiv_icon

09:25 Uhr, 13.05.2010

Hallo zusammen, ich soll folgende Funktion die erste Ableitung bilden:

$f (x) = x^{x}$

jetzt habe ich mal rumgelesen

$f' (x) = \frac{g' (x)}{g (x)}$

also muß ich schreiben:

$x^{x} = x * \ln x$

die Ableitung davon ist nach Produktregel u'v + uv':

$1 * \ln x + x * \frac{1}{x} = \ln x + 1$

jetzt zusammenschreiben:

$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$

umformen nach y'

$y' = y * (\ln x + 1)$

y ersetzen:

$y' = {}_{x}x * (\ln x + 1)$

soweit so gut, Ergebniss stimmt. Aber wie nennt man das nun genau? Substitution ? Ich kann es zwar hier nachvollziehen, aber ich muss das in einer mündl. Prüfung machen, ich brauche ein paar erklärende Sätze dazu, was ich hier gemacht habe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

smoka

10:14 Uhr, 13.05.2010

Ich kann nicht wirklich nachvollziehen was Du machst und ehrlich gesagt bin ich verwundert, dass das Ergebnis stimmt, denn

x^{x} \neq x \cdot \ln x

was man leicht durch einsetzen von Zahlen überprüfen kann.
Ich würde Dir das hier vorschlagen:
wir wissen ja, dass

x = e^{\ln x}

damit ist:

x^{x} = (e^{\ln x})^{x} = e^{x \cdot \ln x}

das kannst Du dann ganz bequem mi Ketten- und Produktregel ableiten und kommt sicher zum Ziel.

johannes2010 aktiv_icon

10:29 Uhr, 13.05.2010

f (x) = x^{x}

So sollte es aussehen:

Substitution:

y (x) = \ln (f (x)) = \ln (x^{x}) = x \cdot \ln (x)

y ʹ (x) = \frac{1}{f (x)} \cdot f ʹ (x) \Rightarrow f ʹ (x) = y ʹ \cdot f (x)

y ʹ (x) = \ln (x) + 1 \Rightarrow f ʹ (x) = y ʹ \cdot f (x) = (\ln (x) + 1) \cdot x^{x}

Man kann sagen, dass man mit Hilfe einer Substitution die Ableitung herleitet. (Einführung einer Hiflsgröße, etc.)

Frosch1964 aktiv_icon

11:57 Uhr, 13.05.2010

Ok, johannes2010, deinen Ausführungen kann ich folgen, glaube ich zumindest:

ich substituiere die ganze Funktion in ln(f(x)) und rechne dann weiter,

reicht mir als Erklärung, danke an euch beiden :-)

johannes2010 aktiv_icon

11:58 Uhr, 13.05.2010

Der beschriebene Ansatz von smoka ist der "normale" Weg. Den würde ich dann auch beschreiben!

Frosch1964 aktiv_icon

12:00 Uhr, 13.05.2010

ja, das war mir entfallen dass e^lnx=x, beschäftige mich erst seit kurzem mit dem Thema und wenn mann schon fast 50 Jahre alt ist, lernt mann nicht mehr so schnell, Danke noch mal !!

johannes2010 aktiv_icon

13:18 Uhr, 13.05.2010

DGL:

(y ʹ + 1) \ln (\frac{y + x}{x + 3}) = (y ʹ + 1) [\ln (y + x) - \ln (x + 3)] = \frac{y + x}{x + 3}

q = \ln (y + x) \frac{d q}{d x} = q ʹ = \frac{y ʹ + 1}{y + x} \Rightarrow q \cdot q ʹ = \frac{1}{y + x} (y ʹ + 1) \ln (y + x) (y ʹ + 1) = q ʹ \cdot (y + x)

DGL:

(y + x) \cdot q \cdot q ʹ - q ʹ (y + x) \ln (x + 3) = \frac{y + x}{x + 3}

q \cdot q ʹ - q ʹ \cdot \ln (x + 3) = \frac{1}{x + 3}

q ʹ (q - \ln (x + 3)) = \frac{1}{x + 3}

q = \ln [g (x) (x + 3)]

\frac{d q}{d x} = \frac{g ʹ (x + 3) + g}{(x + 3) \cdot g} = \frac{g ʹ}{g} + \frac{1}{x + 3}

\ln (g) (\frac{g ʹ}{g} + \frac{1}{x + 3}) = \frac{1}{x + 3}

\frac{\ln (g)}{(1 - \ln (g)) \cdot g} \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x + 3}

\Rightarrow \ln (g) + \ln (\ln (g) - 1) = - \ln (x + 3) + \ln (k) k = k o n s t .

\Rightarrow g + \ln (g) - 1 = \frac{k}{x + 3}

g = e^{q} \frac{1}{x + 3} = \frac{y + x}{x + 3}

\Rightarrow (\ln (\frac{y + x}{x + 3}) - 1) (y + x) = k

Nachdem ich geglaubt habe, dass da was lösbares raus kommt habe ich öfters gerechnet und mit Mathematica überprüft.

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