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Ableitung der Umkehrfunktion sinh(x)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Brdrk aktiv_icon

14:40 Uhr, 14.01.2012

Hallo, ich habe folgendes PRoblem,

Aufgabe:
Entscheiden Sie für die Funktion, ob sie umkehrbar ist und bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion.

f (x) = sinh (x)

für einen beliebigen festen Wert

Y

Also ersten, geht das , da die Funktion

sinh (x)

ja streng monoton steigend ist, ergo es gibt eine Umkehrfunktion.

Die da lautet:

arsinh(x)

:=

ln(x+(Wurzel aus)x²+1)

JEtzt lautet ja die Reziprokregel:

\frac{1}{f' (f^{- 1} (x))}

Dann lautet die Ableitung:

1/(cosh(x)

[

ln(x+(Wurzel aus)x²+1]

Das ist aber denke ich falsch, da das Ergebnis, welches ich bereits habe, lautet:

1/(Wurzel aus)(1+Y²)

Wo ist

a)

mein Fehler und

b)

Wie kann ich auf die Lösung kommen.

Danke für Eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

15:52 Uhr, 14.01.2012

Hallo,

die Umkehrfunktionen zu den Hyperbelfunktionen heißen NICHT arCsinh sondern arsinh (sprich: area sinus hyperbolicus).

Wenn ich das korrekt überblicke, ist deine Rechnung in Ordnung. Allerdings gibt es eine Entsprechung zu der trigonometrischen Gleichung

\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1

.

Suche doch mal danach.

Mfg Michael

Brdrk aktiv_icon

13:59 Uhr, 16.01.2012

Hallo,

ich hatte ja mein vorläufiges Ergebnis oben genannt und nun hast du mir den Tipp gegeben, dass sin(x)²+cos(x)² = 1 ist, ich komme ich den in meiner Rechnung auf diesen trigonometrischen Zusammenhang?

Also irgendwie muss ich ja das ln(x) loswerden, darauf läuft es ja bestimmt dann auch mit dem trig. Zusammenhang hinaus oder?

Danke

vulpi aktiv_icon

14:54 Uhr, 16.01.2012

Hi, wie gesagt, ist dein Ergebnis

(a r s i n h x)' = \frac{1}{cosh (ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}))}

nicht falsch, sollte aber noch vereinfacht werden.
(Nenner ist ja ne e-Funktion von einer ln-Funktion)

Möglichkeit 1:
Wer hindert dich am Weiterrechnen ?

cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \Rightarrow

cosh (ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})) = \frac{1}{2} ((x + \sqrt{x^{2} + 1}) + \frac{1}{(x + \sqrt{x^{2} + 1})})

Jetzt per Hauptnenner, Ausmultiplizieren, Kürzen,bla,bla,bla ....aufs Ergebnis kommen.

Möglichkeit 2:
Wie von michaL bereits erwähnt, gibt es eine ENTSPRECHUNG zum trigonometrischen Pythagoras, NICHT diesen selber verwenden.

Dazu folgende Etüde

(i n

e-moll): (oder auch Wikipedia)

{cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x) = \frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{4} - \frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{4} =

?

Mit diesem Zusammenhang geht dann die Aufgabe cooler zu rechnen.

cosh(arsinh(x)) wird dann einfach f(sinh(arsinh(x)), was sich dann gegenseitig aufhebt.

lg

Brdrk aktiv_icon

19:11 Uhr, 16.01.2012

Hallo,

ich weiß, dass ich gerade etwas schwierig bin und sowieso auf dem Schlauch stehe,..

wenn ich cosh(x)-sinh(x) = $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) - \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) = 0$

Okay, soweit verständlich. Aber wie wende ich das in meiner Aufgabe an ? Also könnte das einmal jemand zeigen ? wie ich das cosh wegkriege und den ln ?!

Das wäre super nett !

vulpi aktiv_icon

20:14 Uhr, 16.01.2012

Hi, also das Fertigrechnen von Möglichkeit 1 lassen wir jetzt mal.

Quintessenz:

{cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x) = 1

Herleitung siehe Ansatz oben meine Etüde in

e

(QUADRATE

!!

nicht vergessen)

Also kannst du doch

cosh (x)

mit

\sqrt{1 + {sinh}^{2} (x)}

ersetzten.

c o s h (a r s i n h (x)) = \sqrt{1 + s i n h^{2} (a r s i n h (x))}

der

sinh (a r s i n h (x))

ist aber nun wieder

x

ergo

\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

ist die gesuchte Ableitung

gruß

Brdrk aktiv_icon

20:21 Uhr, 16.01.2012

super. Vielen Dank ! :)

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