Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ableitung euklidischer Norm mit Matritzen

Ableitung euklidischer Norm mit Matritzen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Ableiten, euklidische Norm, Matrizenrechnung

mawor002 aktiv_icon

08:34 Uhr, 17.11.2021

Hallo zusammen,

ich bräuchte eure Hilfe bezüglich eines Optimierungsproblems in dem ich eine euklidische Norm mit Matrizen und Vektoren ableiten muss. Leider bin ich nicht in der Lage dieses Problem zu lösen.

Es geht um folgendes:

{| | y - X \cdot a | |}_{2}^{2}

mit:

y := {(y_{1}, ... y_{n})}^{T} \in ℝ^{N}

X := (\begin{matrix} 1 & x_{1}^{1} & ... & x_{p}^{1} \\ 1 & x_{1}^{2} & ... & x_{p}^{2} \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_{1}^{N} & ... & x_{p}^{N} \end{matrix}) \in ℝ^{N \times (p + 1)}

a := {(a_{0}, ... a_{p})}^{T} \in ℝ^{p}

Jetzt weiß ich folgende Eigenschaft über die Euklidische Norm:

{| | x | |}_{2} = \sqrt{< x^{T} \cdot x >} = {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}

Da ich die Euklidische Norm zum Quadrat habe, fällt die Wurzel jeweils weg. Zudem habe ich nicht

x

sondern müsste dies substituieren mit

y - X \cdot a

. Wie man erkennt kann die Matrix sowie beide Vektoren endlich groß werden, wodurch ich das ganze allgemein ableiten muss.

Diesen Ausdruck soll ich nun Ableiten nach: a

Wenn mir jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pivot aktiv_icon

09:36 Uhr, 17.11.2021

Hallo,

im Prinzip ist

∣ x ∣_{2}^{2} = x^{ʹ} x

. Also ist

∣ y - X \cdot α ∣_{2}^{2} = (y - X \cdot α)^{ʹ} \cdot (y - X \cdot α) = (y^{ʹ} - α^{ʹ} \cdot X^{ʹ}) \cdot (y - X \cdot α)

Diese Klammern kann man ausmultiplizieren und dann nach

α

ableiten. Dafür existieren Ableitungsregeln, z.B.

\frac{\partial X^{ʹ} b}{\partial X} = b

Gruß
pivot

pwmeyer aktiv_icon

11:50 Uhr, 17.11.2021

Hallo,

es hängt von Deinen / Euren Kenntnissen ab. Wenn Ihr die Ableitung im

ℝ^{n}

nur in der Form der partiellen Ableitungen besprochen habt, dann musst Du halt alles ausmultiplizieren und eine explizite Koordinatenform für den Ausdruck herleiten.

Wenn Ihr aber den Ableitungsbegriff allgemein bespochen habt (Frechet-Ableitung, totale Ableitung

o

.ä.), dann geht es viel einfacher.

Gruß pwm

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1544844

1544834

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?