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Allgemeine Gleichung Schnittpunkt Kugel - Gerade

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Gerade, Kugel, Vektorraum

cocodercoder aktiv_icon

14:44 Uhr, 26.03.2012

Hallo Liebe Mitglieder,

ich habe ein kleines Problem bei der Berechnung der Schnittpunkte zwischen einer Kugel und einer Gerade. Generell ist mir das rechnerische Vorgehen klar und mit konkreten Werten kein Problem zu lösen. Ich benötige jedoch eine allgemein gültige Formel, da ich die Berechnung in einem Softwareprojekt benötige. Mein Ansatz ist folgender:

Kugelgleichung:

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Gerade:

g := v + t \cdot u

in einander eingesetzt:

r^{2} =

(vx

+

t*ux)^2

+

(vy

+

t*uy)^2

+

(vz

+

t*uz)^2

aufgelöst:

t =

-((-r^2+vx^2+vy^2+vz^2) / (ux^2+uy^2+uz^2

+

2*vx*ux

+

2*vy*uy

+

2*vz*uz))

Nach Prüfung meiner Gleichung durch konkrete Werte war jedoch klar, dass diese Gleichung nicht stimmen kann.

Ich habe bereits mehrere Anläufe versucht diese Gleichung nach

t

aufzulösen, jedoch ohne Erfolg. Kann mir jemand einen Tipp geben, oder den Rechenweg verraten?

Schon einmal vielen Dank im voraus!

Grüße
Cocodercoder

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Paulus

15:15 Uhr, 26.03.2012

Hallo Cocodercoder

mir scheint, dass du das Auflösen einer quadratischen Gleichung nicht mehr ganz so beherrscht, wie man es sollte - Mitternachtsformel.

Deine Gleichung ist ja:

{(v_{x} + t \cdot u_{x})}^{2} + {(v_{y} + t \cdot u_{y})}^{2} + {(v_{z} + t \cdot u_{z})}^{2} = r^{2}

Wenn du das ausmultiplizierst und nach den t-Potenzen ordnest, bekommst du:

(u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2}) \cdot t^{2} + 2 \cdot (u_{x} \cdot v_{x} + u_{y} \cdot v_{y} + u_{z} \cdot v_{z}) \cdot t + v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} = r^{2}

das

r^{2}

auf die linke Seite:

(u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2}) \cdot t^{2} + 2 \cdot (u_{x} \cdot v_{x} + u_{y} \cdot v_{y} + u_{z} \cdot v_{z}) \cdot t + v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} - r^{2} = 0

Mit den Abkürzungen

A := (u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2})

B := 2 \cdot (u_{x} \cdot v_{x} + u_{y} \cdot v_{y} + u_{z} \cdot v_{z})

C := v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} - r^{2}

hast du also diese Gleichung:

A \cdot t^{2} + B \cdot t + C = 0

Und dies nach

t

aufgelöst:

t = \frac{- B \pm \sqrt{B^{2} - 4 \cdot A \cdot C}}{2 \cdot A}

Alles klar?

Gruss

Paul

cocodercoder aktiv_icon

15:22 Uhr, 26.03.2012

Ahhhh alles klaro, jetzt weiß ich wo ich meinen Fehler hatte. Problem war, dass ich die Potenz beim ausklammern von

t

nicht beachtet habe. Vielen Dank!

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