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Alpha, Gamma & Beta berechnen

Schüler

Tags: Vektoren, Winkel

anonymous

16:24 Uhr, 15.03.2013

Hallo,

ich muss hier drei Winkel berechnen (Dreieck).
Die Punkte sind

: A (3 | 1 | - 8); B (4 | 5 | 6); C (- 7 | - 4 | 5)

Alpha berechnet man mithilfe der Seiten AB ; und AC.
Beta mithilfe der Seiten BA ; BC

Γ

mithilfe der Seiten : CB ; CA

Alpha :
AB

= (4 - 3 | 1 - 5 | - 8 - 6) = (1 | - 4 | - 14)

= (- 7 - 3 | - 4 - 1 | 5 + 8) = (- 10 | - 5 | 13)

Wie geht es dann weiter ?

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Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

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16:28 Uhr, 15.03.2013

Hallo!

cos α = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} |}

anonymous

16:33 Uhr, 15.03.2013

ist das richtig ?

cos α = - 0,69

?
Kann es - sein ?

anonymous

16:34 Uhr, 15.03.2013

Und die Rechnung gilt auch für

γ

und

β

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16:45 Uhr, 15.03.2013

Klar, wenn

α

ein stumpfer Winkel (also

>

90°) ist, wird der Kosinus negativ. Die Beziehung gilt immer für Winkel zwischen zwei Vektoren.

Du kannst ja mal den zweiten Winkel zwischen

\vec{B A}

und

\vec{B C}

ausrechnen - und für den dritten gilt dann

γ =

180°

- α - β

anonymous

16:52 Uhr, 15.03.2013

ist das richtig ?

Alpha

= - 0,69

Beta

= 0,29

Γ = - 0,61

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17:04 Uhr, 15.03.2013

Nein!

\vec{A B} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 14 \end{matrix})

\vec{A C} = (\begin{matrix} - 10 \\ - 5 \\ 13 \end{matrix})

\vec{B C} = (\begin{matrix} - 11 \\ - 9 \\ - 1 \end{matrix})

cos α = \frac{152}{\sqrt{213} \cdot \sqrt{294}} \approx 0,6074 \Rightarrow α =

52,6°

cos β = \frac{61}{\sqrt{213} \cdot \sqrt{203}} \approx 0,2934 \Rightarrow β =

72,9°

γ =

180° - 52,6° - 72,9° = 54,5°

anonymous

17:08 Uhr, 15.03.2013

ahja ich weiß wo mein fehler liegt, ich habe bei AB

= (b - a | a - b ...)

a - b

ist falsch, habe mich verguckt

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17:10 Uhr, 15.03.2013

So ist's :-)

anonymous

17:12 Uhr, 15.03.2013

Für den AC Betrag habe ich aber

7 \sqrt{6}

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17:14 Uhr, 15.03.2013

\sqrt{294} = 7 \sqrt{6}

anonymous

17:18 Uhr, 15.03.2013

wie kommen Sie auf β=

72,9

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17:22 Uhr, 15.03.2013

β =

arccos(0,2933)

\approx

72,9°

anonymous

17:23 Uhr, 15.03.2013

GUT !

Danke

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