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Aufgabe unklar Sinus und Kosinus sind Zufallsvaria

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Tags: Zufallsvariable

tommy40629 aktiv_icon

16:38 Uhr, 19.12.2015

Hi,

ich habe hier eine echt kranke Aufgabe:

Sei X gleichverteilt auf dem Intervall

[- π, π]

setze Y=cox(X), Z=sin(X).

X ist eine diskrete Zufallsvariable.

Jetzt werden aus X irgendwie 2 neue Zufallsvariablen Sinus und Kosinus.

Ich weiß, wie Sinus und Kosinus aussehen, und ich weiß wie eine Gleichverteilung von X

P_{X}

aussieht.

Beide haben nichts gemeinsam.

Wie mache ich denn aus dem Sinus und dem Kosinus eine Gleichverteilung????

Ansätze habe ich gar keine. :-(.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

16:44 Uhr, 19.12.2015

Was stimmt denn jetzt, "

X

ist diskrete Zufallsvariable" oder "

X

ist gleichverteilt"?
Beides kann nicht stimmen.
Und was genau wird in der Aufgabe verlangt?

tommy40629 aktiv_icon

17:11 Uhr, 19.12.2015

Man soll zeigen, dass sie unkorreliert aber nicht unabhängig sind.

Ich verstehe aber gar nicht, warum Sinus und Kosinus auf einmal Zufallsvariablen sind?

Dann muss X doch stetig sind, weil Sinus und Kosinus stetig sind.

Ich verstehe das mit dem Sinus und Kosinus gar nicht.

Was haben den trigonometrische Funktionen mit Zufallsvariablen zu tun?

DrBoogie aktiv_icon

17:24 Uhr, 19.12.2015

Wenn

X

eine Zufallsvariable ist und

f (x)

eine gewöhnliche Funktion, dann ist

f (X)

eine Zufallsvariable. Das ist eigentlich offensichtlich.
Sonst bringe etwas Ordnung in Dein Chaos und formuliere die Aufgabe präzise.

tommy40629 aktiv_icon

17:31 Uhr, 19.12.2015

Ich schreibe einmal 100% die Aufgabe ab:

Sei X gleichverteilt auf dem Intervall

[- π, π]

und setze Y=cos(X),Z=sin(X).
Zeigen Sie, dass Y,Z unkorreliert aber nicht unabhängig sind.

Ist die schwerste Aufgabe, die wir bisher hatten.

DrBoogie aktiv_icon

17:51 Uhr, 19.12.2015

Ganz einfach ist das nicht.

Also,

X

ist eine Zufallsvariable, also eine (messbare) Abbildung:

Ω \to ℝ

, wo

Ω

ein W-keitsraum ist. Wenn jetzt

f (x)

eine "normale" Funktion

ℝ \to ℝ

ist (sie muss auch messbar sein), dann ist

f (X) := f (X (ω))

eine messbare Abbildung

Ω \to ℝ

, also eine Zufallsvariable.
Da Kosinus und Sinus stetig und deshalb auch messbar sind, sind

\cos (X)

und

\sin (X)

also Zufallsvariablen.
Um ihre Unkorreliertheit zu zeigen, muss mann einfach

C o v (\cos (X), \sin (X))

berechnen.

Es gilt

C o v (\cos (X), \sin (X)) = E (\cos (X) \sin (X)) - E (\cos (X)) E (\sin (X)) =

= \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} \cos (x) \sin (x) d x - (\frac{1}{2 π})^{2} (\int_{- π}^{π} \cos (x) d x) (\int_{- π}^{π} \cos (x) d x) = 0

, weil alle diese Integrale

0

sind. Damit sind

\cos (X), \sin (X)

unkorreliert.

Das sie nicht unabhängig sind, ist etwas schwieriger zu zeigen. Man kann z.B. zeigen, dass

P (\cos (X) > 1 / 2, \sin (X) > 1 / 2) \neq P (\cos (X) > 1 / 2) P (\sin (X) > 1 / 2)

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