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Befüllung eines Zylinders mit Kugeln
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Kugel, Volumen, Zylinder
 
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Hallo zusammen, ich feile gerade an folgender Aufgabe: Es soll ein "Fass", sprich ein Zylinder gebaut werden in den 300 Kugeln mit einem Durchmesser von 65mm hineinpassen. Die Folie, aus der der Zylinder gebaut werden soll, gibt es in der Breite 1m oder 1,20m, dies entspricht also der Höhe des Zylinders. Wie viel Folie benötigt man für einen bis zum Rand gefüllten Zylinder? Ich die Kugeln werden einzeln in den Zylinder geworfen, dürften also relativ gut verteilt sein (wegen der Dichte), aber auch nicht perfekt. Könnt ihr mir helfen? Vielen Dank, Felix Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Zylinder (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Raummessung Volumen einer Pyramide Volumen und Oberfläche einer Pyramide |
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Wenn die Kugeln im Verhältnis zum Volumen des Zylinders sehr viel kleiner sind, kann man getrost eine Näherungsformel anwenden, die das Ineinanderschieben der Kugeln durch Verschiebung der Lagen berücksichtigt. Das gibt einen festen Faktor, den Kugeln im Vergleich zu Würfeln mehr brauchen, weil es eben immer ein wenig "luft" dazwischen hat. In der Zeichnung habe ich mal Kreise mit Radius 1 genommen. Wären es Quadrate der Kantenlänge 2, könnte man 15 Quadrate in der Breite 10 und Höhe 6 unterbringen. Ist ja auch kein Wunder - wir haben die Fläche 60 und die Quadrate haben die Fläche 4. Aber jetzt sind es Kugeln - wir verlieren in einer Lage ein Kugel, weil sonst die Kugeln nicht platzsparend ineinanderrutschen können. Noch nicht eingezeichnet habe ich, um wieviel dir Kugeln zusammensacken können. Bei entsprechend vielen Lagen könnten dann nämlich mehr Lagen untergebracht werden, als wenn die Mittelpunkte genau senkrecht übereinander sitzen würden (also ohne Verschiebung). Kommst Du jetzt weiter?  |
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Danke, ich verstehe was du meinst mit dem zusammen sacken. Aber wie komme ich dann auf die Gesamtdaten? Außerdem werden die Kugeln ja nicht genauso reingelegt, dass sie immer in einer Lücke sind... |
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Die Kugeln sacken ganz von alleine so zusammen. Den Zusammensackfaktor bekommst du wenn Du überlegst, wie weit die Schichten ineinanderrutschen. Das ist übrigens ein gängiges Modell das so zu berechnen - wenn die Kugeln viel kleiner sind, als die Fläche bzw Lage. kleiner Tipp: die Mittelpunkte der Kugeln sind zusammengerutscht immer genau 2r voneinander entfernt. |
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tut mir leid aber ich stehe total auf dem schlauch und meine pfarrerin schiebt stress, weil sie die zahl braucht für so ne aktion... könnt ihr mir doch einfach die lösung zeigen? |
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Vielleicht hilft dir folgendes Weiter: Experimente zeigen, dass ein zufälliges Hineinschütten von Kugeln in einem Behälter zu einer Dichte von ungefähr Prozent führt. mm^3=0,5308 ...dies wäre das Volumen, das man bräuchte und ob du nun die 1 oder breite Folie wählst, händgt ja vom Radius deines Zylinders ab. Macht also bei Rolle: Macht also bei Rolle: ...so, das ist die praktische Lösung. :-) |
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Vielen Dank, das hilft mir doch sehr weiter:-) |
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