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Berechnung von Zeit/Wachstum, Schulaufgabe 11te

Schüler Gymnasium,

Tags: Bakterien, Berechnung, Biologie, Schulaufgabe, volum, Wachstum, Zeit

HatKeinenSchimmer aktiv_icon

01:20 Uhr, 12.09.2012

Hallo Allerseits,
ich soll für Bio folgende Aufgabe lösen:

"Das Darmbakterium Eschrerichis coli teilt sich bei optimalen Bedingungen alle

20

Minuten. In dieser Zeit wächst das stäbchenförmige Bakterium und erreicht ein Volumen von ca.

2,3 \cdot 10^{- 6}

µl und teilt sich dann erneut. Berechnen Sie die Zeit, die vergehen muss, bis durch Wachstum und Teilung eines Darmbakteriums und seiner Nachkommen ein Volumen von 2 Litern gefüllt wird."

Ich sitze nun schon seit einigen Stunden an dem Problem und kriege es einfach nicht gelöst. Ich habe mehrere Versuche gestartet aber immer das Wachstum der 'Nachkommen' missachtet, daher sind höllische Zeitangaben herausgekommen... Ich hoffe, irgendjemand kann mir schnell helfen, ich bin nahezu am Verzweifeln!

Beste Grüße,
Johannes.

Edit: Ich denke, man kann das irgendwie durch die Wachstumsfunktion lösen, nur weiß ich nicht, was ich wo einsetzen muss - vor allem, da ich ja die Zeit als Ergebnis herausbekommen muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

01:29 Uhr, 12.09.2012

Wachstumsfunktion ist schon der richtige Ansatz !

Wenn sich etwa teilt, dann kann man sagen, es verdoppelt sich !
Gibt es auch einen ANFANGSBESTAND ?

LG Ma-Ma

HatKeinenSchimmer aktiv_icon

01:34 Uhr, 12.09.2012

Naja der Anfangsbestand ist EIN Darmbakterium.

Ich müsste doch eigentlich ausrechnen, wieviele Darmbakterien zusammen 2 Liter füllen, oder?

Wenn ja, müsste ich das mit dem Volumen von frisch geteilten Bakterien berechnen?

DerDepp aktiv_icon

01:52 Uhr, 12.09.2012

Hossa ;-)

Ein Bakterium hat das Volumen

V = 2.3 \cdot 1 0^{- 6} μ l = 2.3 \cdot 1 0^{- 12} l

. Um ein Volumen von

2 l

zu füllen brauchen wir also die folgende Anzahl n an Bakterien:

n = \frac{2 l}{2.3 \cdot 1 0^{- 12} l} \approx 8, 696 \cdot 1 0^{11}

Das erste Bakterium teilt sich. Es entsteht ein zweites. Dieses wächst innerhalb von 20min heran. Nach dieser Zeit teilen sich beide Bakterien erneut. Es enstehen insgesamt 4, 2 alte und 2 neue. Die beiden neuen brauchen wieder 20min, um zu reifen. Danach teilen sich 4 Bakterien... Mit anderen Worten, bei jeder Teilung verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Am Anfang sind es

2^{0}

, dann

2^{1}

, dann

2^{2}

und nach der t-en Teilung sind es

2^{t}

. Wie viele Teilungen brauchen wir, um die obigen Anzahl

n

zu erhalten?

2^{t} = n ∣ \ln (\dots)

\ln (2^{t}) = \ln (n)

t \cdot \ln (2) = \ln (n)

t = \frac{\ln (n)}{\ln (2)} = \frac{\ln (8, 696 \cdot 1 0^{11})}{\ln (2)} \approx 39.66

Mit anderen Worten, es müssen insgesamt 40 Teilungen stattfinden, um das Volumen von 2l zu erreichen. Wenn die erste Teilung zum Zeitpunkt 0 stattfindet, müssen wir 39-mal die Zeiteinheit von 20min abwarten.

T = 39 \cdot 20 min = 780 min

Ok?

HatKeinenSchimmer aktiv_icon

01:57 Uhr, 12.09.2012

Heyho :-)

Witzig, eben gerade habe ich genau dasselbe gemacht... hätte gleich an die Wachstumsfunktion denken sollen! Da ich dasselbe Ergebnis wie du herausbekommen habe, dürfte das Ergebnis also richtig sein. Vielen Dank! :-)

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