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Berührpunkt einer Ursprungsgeraden

Schüler Gymnasium,

Tags: Berührpunkt, Kurvendiskussion, Tangent, Ursprung, Ursprungsgerade, x-Achse

suppentopf95 aktiv_icon

15:27 Uhr, 25.05.2013

Hey, ich habe mal wieder ein Problem!

Gegeben ist die Funktion

f (x) = {(ln)}^{2}

und dazu muss ich eine Ursprungsgerade finden, die den Graphen berührt. Dann muss ich den Berührpunkt nennen!

Ich habe schon die Lösung, von meinem Lehrer, ich weiß aber nicht, wie man darauf kommt! Die Gleichung lautet

y = (\frac{4}{e^{2}}) \cdot x

Ich habe auch schon Ansätze:
Also ich muss ja ne Gerade mit y=mx+b finden und

b

ist

0,

da die Gerade ja durch den Ursprung verläuft. Also muss ich ja nur noch

m

ausrechnen.
Dazu habe ich schon einige Gleichungen:
m=((lnx)^2)/x
und
m=f´(x)=(2lnx)/x
Und jetzt sollten wir in der Schule irgendwie rechnen:
((lnx)^2)/x=(2lnx)/x
und da kommt dann irgendwie

m

raus...aber ich weiß nicht, wie ich darauf komme, dass

m = (\frac{4}{e^{2}})

ist.... Und wenn ich es richtig mitbekommen habe ist der Berührpunkt (e^2\4)

Wie komme ich darauf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Aurel

16:23 Uhr, 25.05.2013

Gegeben ist die Funktion

f (x) = {ln}^{2}

da fehlt noch was

suppentopf95 aktiv_icon

16:27 Uhr, 25.05.2013

Oh stimmt..sorry

\frac{:}{}

Gegeben ist natürlich:
f(x)=(lnx)^2

Aurel

16:29 Uhr, 25.05.2013

es gibt nur eine Ursprungsgerade, die diesen Graphen berührt und nicht irgendwo anders schneidet, und das ist die x-Achse, siehe:

www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D%28ln%28x%29%29%5E2%2C+x%3D0+to+8

stimmt deine Angabe?

Aurel

16:33 Uhr, 25.05.2013

ah, wahrscheinlich ist gemeint, sie soll den Gaphen berühren, darf ihn aber auch gleichzeitig woanders schneiden

suppentopf95 aktiv_icon

16:34 Uhr, 25.05.2013

Also wir haben diese Angaben, die ich genannt habe in der Schule gemeinsam gemacht

\frac{:}{}

Ich suche eine Gerade die durch den Urspung geht und dann irgendwo rechts vom Ursprung den Graphen berührt...

Aurel

16:48 Uhr, 25.05.2013

du musst lösen:

\frac{{(ln x)}^{2}}{x} = \frac{2 ln x}{x} \Leftrightarrow

{(ln x)}^{2} = 2 ln x \Rightarrow

ln x = 2 \Rightarrow

x = e^{2}

nun nimm eine der beiden Gleichungen mit

m

und setze für

x = e^{2}

ein:

m = \frac{2 ln x}{x} = \frac{2 ln (e^{2})}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}

prodomo aktiv_icon

16:50 Uhr, 25.05.2013

Lösungsidee: die Steigung der Ursprungsgeraden ist

\frac{f (x)}{x}

. Das muss auch die Steigung des Graphen im Berührpunkt sein, also

f' (x)

. Mit der Kettenregel bekommst du

f' (x) = 2 \cdot ln (x) \cdot \frac{1}{x}

und damit

\frac{{(ln (x))}^{2}}{x} = \frac{2 \cdot ln (x)}{x}

. Damit muss

{(ln (x))}^{2} = 2 \cdot ln (x)

sein. Daraus folgt

ln (x) = 0

oder

ln (x) = 2,

also

x = 1

oder

x = e^{2}

suppentopf95 aktiv_icon

16:59 Uhr, 25.05.2013

Vielen Dank, jetzt habe ich es auch verstanden :-)

suppentopf95 aktiv_icon

16:59 Uhr, 25.05.2013

Okay, dankeschön :-)

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