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Bestimmen der Einheitsvektoren

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Skalarprodukte

Tags: Einheitsvektor, senkrecht, Skalarprodukt, Winkel

qooohooo aktiv_icon

18:15 Uhr, 05.12.2010

Hallo,

leider finde ich keinen Ansatz für die Lösung folgender Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren

a =

3e₁+2e₂+2e₃,

b =

e₁+e₂-e₃. Man ermitlle Einheitsvektoren, die senkrecht auf a stehen und mit

b

einen Winkel von 30° einschließen.

Bin dankbar für jegliche Hilfe ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Skalarprodukt

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

aleph-math aktiv_icon

01:15 Uhr, 07.12.2010

G. Abend!

Ich hab' noch nicht alles durchgerechnet, aber viell. hilft auch ein Zwischenergebnis...

Die Vektoren sind als Linearkombin. geschrieben, was viell. nicht so geläufig ist. In kartes. Koord. gilt deshalb:

\vec{a} = (3, 2, 2)^{T}, \vec{b} = (1, 1, - 1)^{T}

; (hier der Einfachh. halber als Zeilenvekt. geschrieben). Den zu

\vec{a}

"normalen", dh. senkr. Vektor wollen wir

\vec{c} = {\vec{a}}_{∠ 90}

nennen. Dann gilt:

1)

\vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \Rightarrow a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} = 0 \Rightarrow 3 c_{1} + 2 c_{2} + 2 c_{3} = 0 (1)

.

2)

\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{∣ \vec{b} ∣ ∣ \vec{c} ∣} = \frac{b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3}}{\sqrt{b_{1} ² + b_{2} ² + b_{3} ²} \sqrt{c_{1} ² + c_{2} ² + c_{3} ²}} = \frac{c_{1} + c_{2} - c_{3}}{\sqrt{1 ² + 1 ² + (- 1) ²} \sqrt{c_{1} ² + c_{2} ² + c_{3} ²}} = \frac{c_{1} + c_{2} - c_{3}}{\sqrt{3} \sqrt{c_{1} ² + c_{2} ² + c_{3} ²}} = \cos (30 °) = (1 / 2) \sqrt{3}

\Rightarrow c_{1} + c_{2} - c_{3} = (3 / 2) \sqrt{c_{1} ² + c_{2} ² + c_{3} ²} (2)

.

3)

{\vec{c}}_{e} = \frac{\vec{c}}{∣ \vec{c} ∣} = \frac{\vec{c}}{\sqrt{c_{1} ² + c_{2} ² + c_{3} ²}} (3)

, mit dem Einheitsvektor

{\vec{c}}_{e}

.

Daraus ergeben sich 2 Gl. für die 3 Unbekannten

c_{1}, c_{2}, c_{3}

. Das LGS ist damit unterdeterminiert, man kann 2 Koord. in Abhäng. von der 3. berechnen. Die Aufg. ist ein wenig unklar: es ist von Einh.vektor_en (Mehrzahl!) die Rede, aber nicht, ob das ein neues Basis-System sein/werden soll o. "nur" eine Schar des Normalen-Vektors. Im 1.Fall könnte man weitere Winkelbezieh. anstellen (Basisvekt. sind alle senkr. zueinander!) u. daraus eine 3.Gl. für das LGS bestimmen.

Viel Erfolg & gutes Gelingen! -GA

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