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Beweis Umkehrfunktion, Bijektion

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Tags: Beweis, Bijektion, Umkehrfunktion

 
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anjali251

anjali251 aktiv_icon

15:20 Uhr, 15.11.2008

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Hallo, nochmals wende ich mich vertrauensvoll hierher, da mir das letzte Mal durch ausführliche Erklärung einiges klarer geworden ist.

Ich habe da eine Aufgabe: Beweisen Sie den Satz 3.3. aus der Vorlesung " Die Umkehrfunktion f − 1 einer Bijektion f ist wieder eine Bijektion und es gilt ( f − 1 ) − 1 = f ."

Mir ist das Prinzip des Beweises nicht so ganz klar, da ich das wirklich erst lernen muss. Im Grundkurs Mathe bekommt man so etwas leider nicht zu sehen.


Was mir klar ist, ist dass die Umkehrfunktion einer Umkehrfunktion wieder die Ausgangsfunktion sein müsste. Dann würde natürlich auch zutreffen, dass ( f − 1 ) − 1 bijektiv ist, wenn f bijektiv ist.

Ich habe aber keine Ahnung wie ich das mathematisch korrekt formulieren soll. Es wäre super wenn mir da einer weiterhelfen könnte, mit Erklärung wann, wieso was gemacht wird. Dann kann ich das besser verstehen und beim nächsten Mal selbst. Vielen Dank im Voraus.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Rentnerin

Rentnerin

22:22 Uhr, 15.11.2008

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Hallo Katharina,

ich versuche es einmal ganz ausführlich darzustellen. Statt "Funktion" verwende ich den allgemeineren Begriff der "Abbildung", was allerdings keine Einschränkung für die Lösung der Aufgabe ist.

Sei also f:A→B eine bijektive Abbildung. Zu zeigen: Die Umkehrabbildung f-1 von f ist ebenfalls bijektiv und es gilt (f-1)-1=f.

Zwischenbemerkung:
Die Bezeichnung f-1 wird auch oft im Zusammenhang mit dem Begriff "Urbild" verwendet. Ist also f:U→V eine beliebige (nicht notwendigerweise bijektive) Abbildung und v∈V ein beliebiges Element, dann versteht man unter f-1(v) die Menge aller u∈U, die mittels f auf v abgebildet werden, also f-1(v)={u∈U∣f(u)=v}.
Das läßt sich noch verallgemeinern: Ist V′⊂V eine beliebige Teilmenge, dann versteht man unter f-1(V′)={u∈U∣f(u)∈V′}.
Das hat zunächst nichts mit einer Umkehrabbildung zu tun!

Und nun zur Aufgabe.

Als Umkehrabbildung definieren wir eine Abbildung g:B→A durch g(b)=f-1(b) (f-1 in obigem Sinne!). Hierbei ist zunächst überhaupt nicht klar, ob es sich um eine Abbildungsvorschrift für g handelt.

f-1(b)≠∅: Das Urbild eines Elements könnte ja ∅ sein, nämlich dann, wenn kein einziges Element der Ausgangsmenge auf b abgebildet wird. Aber die Surjektivität von f sorgt dafür, dass f-1(b)≠∅ ist.

f-1(b) könnte aus mehr als einem Element bestehen, wenn nämlich mehr als ein Element auf b abgebildet wird. Die Injektivität von f sorgt dafür, dass f-1(b) aus genau einem Element besteht.

Demnach ist g eine wohldefinierte Abbildung.

g ist injektiv, denn für b1,b2∈B folgt aus g(b1)=a=g(b2) nämlich f-1(b1)=a=f-1(b2) und daraus b1=b2, da Urbilder verschiedener Elemente stets disjunkt sind.

g ist surjektiv, da für ein beliebiges a∈A immer ein b∈B gefunden werden kann mit a=g(b), nämlich b=f(a).

Also ist g bijektiv. Natürlich ist g die Umkehrabbildung von f und wir schreiben g=f-1 (hier als Abbildung und nicht als Urbildmenge verstanden!).

Nun machen wir dasselbe Spielchen mit g (aber etwas schneller!).

Sei h:A→B definiert durch h(a)=g-1(a). Nach obigem Prozedere folgt wieder, dass h wohldefiniert und bijektiv ist; wir schreiben wieder h=g-1. Nun vergleichen wir nur noch für beliebiges a∈A die beiden Werte f(a) und h(a).

h(a)=g-1(a)=b∈B; es gilt also a=g(b)=f-1(b), woraus f(a)=b=h(a) folgt. Die Abbildungen f und h sind demnach identisch, also f=h=g-1=(f-1)-1.

Gruß Rentnerin

P.S. Wenn Du alles verstanden und dann noch Lust hast, kann man obige Prosa noch in die mathematische Sprache übertragen, wie sie gewöhnlich zur Lösung von Aufgaben verwendet wird.




anjali251

anjali251 aktiv_icon

02:33 Uhr, 16.11.2008

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Vielen vielen Dank, ich werde mich jetzt noch damit beschäftigen und glaube dass ich es verstehen werde.

Sie hören sich übrigens an wie mein Professor, der die überflüssigen Worte auch nicht benötigt.