Beweis mit Binomischen Satz

Ich bins wieder:)) Noch eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme:

Beweisen Sie mit Hilfe des Binomischen Satzes: Für jede reelle Zahl ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 2}$ gilt:                ${\displaystyle {(1+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\ge \frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{4}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

Hilft mir jemand von euch bei dem Ansatz?

Hi Schokoteig. Mathezettel für Physiker aus Bonn? ;) Da sitze ich auch gerade dran ^^

NIEMALS ::))) Doch doch, na klar. Und kommst du weiter? Bei mir endet das alles immer wieder im nichts nichts... 

Ja, genau an dem Punkt war ich nämlich auch, aber ich bin mir da halt genauso wenig sicher wie du :)) ich bin beim martin- also in der 10 glaub ich. Das hier war meine letzte Hoffnung... Und jetzt ist wieder Sonntag und bin mir wieder unsicher :))

Hallo miteinander

${\displaystyle {(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}){\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}>(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}){\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

Dabei habe ich einfach alle Summanden weggelassen, ausser einem einzigen. Das ist erlaubt, weil unter den Voraussetzungen jeder Summand positiv ist.

Damit ist nur noch zu zeigen:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right){\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\ge \frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{4}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

Weil ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2>0}$ ist, kann durch ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ dividiert werden:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 2\end{array}\right)\ge \frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{4}}$

Weiter per Definition:

${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}{2}\ge \frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{4}}$

${\displaystyle 2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\ge {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

${\displaystyle {2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

${\displaystyle {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0}$

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)\ge 0}$

Dies ist für ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 2}$  erfüllt.

Gruss

Paul

Daaankeschön! Das ist total toll!