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Bijektion [0,1] auf [0,1)

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Tags: Algebraische Zahlentheorie, Beweis, Bijektion, Bijektion finden, Elementare Zahlentheorie, Funktion, Lineare Abbildungen, Mächtigkeit, Menge, mengen, polynom, Relation.

Karlkarl aktiv_icon

23:12 Uhr, 02.07.2011

Guten Abend,

ich suche eine Bijektion von

[0,1] \to [0,1)

. Leider funktioniert die Identität hier nicht. Auf was soll ich die 1 abbilden.

Ich beschäftige mich schon sehr lange mit dieser Aufgabe.

Hoffentlich kann mir jemand helfen, auch wenn es nur eine Idee ist.

Karl

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DK2ZA aktiv_icon

08:27 Uhr, 03.07.2011

Wie wär's mit

f (x) = 1 - x

oder

f (x) = \sqrt{x}

oder

f (x) = x^{2}

?

Edit: Ooops, ich habe doch glatt übersehen, dass da eine runde Klammer vorkommt.

GRUSS, DK2ZA

gast01 aktiv_icon

09:46 Uhr, 03.07.2011

Hallo,

mit stetigen Funktionen kann dies nicht klappen aus topologischen Gründen. Wie du bereits bemerkt hast, musst du Platz für die 1 schaffen. Ich würde mir dazu mal eine unendliche Folge in [0,1) näher anschauen.

gruß
gast01

Karlkarl aktiv_icon

13:08 Uhr, 03.07.2011

Hmm, an stetige Funktionen dachte ich zuerst.
Warum dies nun nicht klappen kann, ist mir nicht ganz klar.

Welche unendliche Folge in

[0, 1)

meinst du?

Vielleicht diese hier:

a_{n} = \sum_{i = 1}^{n} 9 \cdot 1 0^{- i}

Der Grenzwert wäre ja

lim_{n \to \infty} a_{n} = 1

.

Vielen Dank für deine Hilfe :-)

Karl

gast01 aktiv_icon

14:34 Uhr, 03.07.2011

Hallo,

dass dies mit einer stetigen Funktion nicht klappen kann, lässt sich vielleicht so plausibel machen:

Wäre

f : [0, 1] \to [0, 1)

eine solche Bijektion und stetig und wäre

0 < p := f (1) < 1

ein innerer Punkt, so wäre dir Restriktion von

f

auf

[0, 1)

eine Bijektion von

[0, 1) \to [0, p) \cup (p, 1)

die immernoch stetig ist. Der Bildraum besteht nun aus zwei "getrennten" Bereichen, der Wertebereich ist "zusammenhängend". Aus dieser Idee lässt sich recht elementar ein Widerspruch zur Stetigkeit herleiten.

Mit etwas mehr Kenntnis lässt sich einfacher argumentieren:

[0, 1]

ist kompatk,

[0, 1)

nicht und stetige Bilder kompakter Räume sind wieder kompakt.

So nun zu deiner Folge. Ja, die Folge kann man zum Beispiel verwenden. Im Prinzip ist es egal, welche Folge man verwendet. Hier ist der nächste Tipp: Es ist die Bijektion zu bauen und ich fange mal an mit

f (x) := x

für alle

x \neq a_{n}, n \in ℕ

und

x \neq 1

. Jetzt muss man sich nurnoch überlegen wie man den (abzählbaren) Rest unterbringt.

gruß

Karlkarl aktiv_icon

17:54 Uhr, 03.07.2011

Sehe ich das richtig, dass der Zielbereich der Abbildung

[0, 1) \to [0, p) \cup (p, 1)

kein

p

enthält, da dies definitionsgemäß

p := f (1)

ist und man ja den Definitionsbereich von

[0, 1]

auf

[0, 1)

eingeschränkt hat.

Es müsste also

f ([0, 1]) = [0, 1)

kompakt sein, was es ja nicht ist, da es nicht abgeschlossen ist.

Ok, du möchtest also eine teilweise Identische Abbbildung benutzen...
Es ist also

f (x) = x

, wenn x nicht in dieser Folge ist und nicht 1 ist (klar, denn 1 kann ja nicht auf sich selbst abgebildet werden).

Sagen wir mal so:

A := {a_{n} ∣ n \in ℕ} \cup {1}

beinhaltet alle Folgenglieder von

a_{n}

und das Element

1

.

Dann ist

f (x) = x

, wenn

x \notin A

.
Zum Beispiel ist

f (0, 1) = 0, 1

, da

0, 1 \notin A

, aber

f (0.999) = ?

(weiß man noch nicht) genauso wie

f (1) = ?

(weiß man noch nicht).

Allerdings bezweifele ich, dass der "Rest"

[0, 1] \ A

abzählbar ist.

gast01 aktiv_icon

18:25 Uhr, 03.07.2011

Zum ersten: Ja, kein

p

.
Zum zweiten: Ja, ist

f

stetig, so müsste

[0, 1)

kompakt sein, ist es aber nicht.

Zum eigentlichen: Ja, soweit richtig verstanden. Der "Rest" war für mich, aus meiner Sichtweise, gerade

A

. Alle anderen

x

hatte ich ja bereits über die identische Abbildung

f (x) := x

zugeordnet. Also bleibt nur die Frage, wo landet

A =

1, 0.9, 0.99, 0.999, \dots

?

Diese sind nun bijektiv auf

A \ {1}

abzubilden.

Karlkarl aktiv_icon

18:55 Uhr, 03.07.2011

Ok, alles klar.

A

ist zwar unendlich, aber abzählbar.

Man könnte nun folgendermaßen vorgehen:

1 \mapsto 0.9

0.9 \mapsto 0.99

0.99 \mapsto 0.999

0.999 \mapsto 0.9999

Könnte man das so machen?

Also die Idee ist, dass man überabzählbar viele Elemente rauswirft, in diesem Fall alle bis auf die in

A

, also die in

[0, 1] \ A

, indem man sie identisch abbildet.

Die restlichen sind ja abzählbar als Folge anzusehen.

Da kann man dann immer auf das nächste Element schieben.

Hier müsste man versuchen, das in eine Formel zu packen.
Also

1 \mapsto 0.9

würde ich als einzelne Fallunterscheidung nehmen.

Die anderen folgendermaßen:
Die Idee ist so:

0.999

auf

0.9999

, also eine "neun" mehr.
Dazu berechne ich die Different zu

1

1 - 0.999 = 0.001

. Das teile ich durch

10

, also

0.0001

, dann rechne ich "mal 9", also

0.0009

und addiere drauf.
Insgesamt also:

x \mapsto \frac{1 - x}{10} \cdot 9 + x

.

Ist das so gut?

VIELEN DANK FÜR DIE HILFE !

gast01 aktiv_icon

19:26 Uhr, 03.07.2011

Könnte man das so machen? Ist das so gut? Das sind die falschen Fragen. Frag dich lieber selbst, was dich daran stört bzw. was dir nicht gefällt. Du musst in erster Linie dich selbst von einer Idee überzeugen. Dabei muss man allerdings sehr kritisch sein. Wenn das geklappt hat, ist es nicht schwer andere von dieser Idee zu überzeugen.

Also hier: Ist es ne Bijektion? "Ja, ich kann's beweisen!", sollte auch deine Antwort sein! Gefällt mir der Aufschrieb? Ist ne Frage des individuellen Geschmack.

Für mich sieht das so gut aus.

gruß

Karlkarl aktiv_icon

20:44 Uhr, 03.07.2011

Ok.

Damit wäre meine Frage schon fast beantwortet.

Ich möchte mich hier nur vergewissern, ob meine Ideen denn richtig sind, da ich ja noch ein Anfänger bin.

Ich denke, dass man dann zusammenfassend schreiben kann:

a_{n} := \sum_{i = 1}^{n} 9 \cdot 1 0^{- i}

A := {a_{n} ∣ n \in ℕ} \cup {1}

f (x) :=

x

, wenn

x \notin A

0.9

, wenn

x = 1

\frac{1 - x}{10} \cdot 9 + x

, wenn

x \in A \ {1}

ICH denke, dass das richtig ist!

Vielen Dank für deine Hilfe :-)

gast01 aktiv_icon

21:37 Uhr, 03.07.2011

Sollte so passen. Die Formel im letzten Fall würde ich wohl kürzer als

\frac{9 + x}{10}

schreiben. Man hätte auch sicherlich einfach

a_{n} \mapsto a_{n + 1}

1 \mapsto a_{1}

und

x \mapsto x

sonst, schreiben können.

gruß

Karlkarl aktiv_icon

17:50 Uhr, 04.07.2011

Ok, danke sehr.

Du hast mir sehr geholfen.

KARL

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