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Diagonale Strebe in einem rechteckigen Fachwerk

Schüler

Tags: Länge, Pythagoras, Rechteck, Strebe, Winkel

herman02 aktiv_icon

22:12 Uhr, 25.10.2023

Berechne die Länge

l

der Kanten einer diagonalen Strebe der Dicke

d

in einem rechteckigen Fachwerk der Höhe a und der Breite

b

Diese Aufgabe hat mir ein befreundeter Zimmermann gestellt, mit der Meinung, es wäre nicht analytisch lösbar, da es ihm sein Meister während der Ausbildung so gesagt hatte.
Mir kam das seltsam vor, da ich nach kurzem Nachdenken der Meinung war, das wäre mit einer kurzen Anwendung von Pythagoras etc. schnell gelöst.

Ich war überrascht, zu sehen, dass es nicht so einfach war wie gedacht. Ich habe 2 Lösungswege gefunden, bei einem war eine unschöne quadratische Gleichung zu lösen, bei dem anderen nicht, jedoch brauchte ich eine Weile, diesen zu finden.

Meine Frage ist nun, ob es für dieses Problem vlt. einen von mir übersehenen deutlich einfacheren Lösungsweg gibt?

Die von mir gefundene Lösung lautet:

l = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2} - d^{2}} - b \cdot d \cdot a}{a^{2} - d^{2}}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Flächeninhalte
Flächenmessung

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Roman-22

22:41 Uhr, 25.10.2023

Zumindest kann ich dir die Richtigkeit deiner Formel bestätigen!

Ob es einen deutlich einfacheren Lösungsweg als den Deinen gibt, kann man nicht sagen, ohne deinen Lösungsweg zu sehen.
Ich habe jedenfalls jetzt auf die Schnelle die Länge als Lösung einer quadratischen Gleichung erhalten.

L^{2} = a^{2} + {(b - \frac{L \cdot d}{a})}^{2} \to L = . .

.

Wobei das Vierkantholz ja vor der Bearbeitung etwas länger sein muss, was die Längenformel dann auf

L = \sqrt{a^{2} + b^{2} - d^{2}}

reduziert ;-)

Randolph Esser aktiv_icon

23:29 Uhr, 25.10.2023

Ich gehe von Deiner Skizze aus.

Man findet leicht

l^{2} = {(b - q)}^{2} + a^{2}

und

\frac{q}{d} = \frac{l}{a}

(Hilfsgröße

q

siehe Anhang)

und damit dann

l^{2} = {(b - \frac{d \cdot l}{a})}^{2} + a^{2} = b^{2} - \frac{2 \cdot b \cdot d}{a} \cdot l + \frac{d^{2}}{a^{2}} \cdot l^{2} + a^{2}

\Leftrightarrow (1 - \frac{d^{2}}{a^{2}}) \cdot l^{2} + \frac{2 \cdot b \cdot d}{a} \cdot l - (a^{2} + b^{2}) = 0

\Leftrightarrow l^{2} + \frac{2 \cdot a \cdot b \cdot d}{a^{2} - d^{2}} \cdot l - \frac{a^{4} + a^{2} \cdot b^{2}}{a^{2} - d^{2}} = 0

\Leftrightarrow l = \frac{- a \cdot b \cdot d + \sqrt{a^{2} \cdot b^{2} \cdot d^{2} + (a^{2} - d^{2}) \cdot (a^{4} + a^{2} \cdot b^{2})}}{a^{2} - d^{2}}

\Leftrightarrow l = \frac{- a \cdot b \cdot d + \sqrt{a^{6} + a^{4} \cdot (b^{2} - d^{2})}}{a^{2} - d^{2}}

\Leftrightarrow l = \frac{- a \cdot b \cdot d + a^{2} \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2} - d^{2}}}{a^{2} - d^{2}}

Randolph Esser aktiv_icon

23:32 Uhr, 25.10.2023

Ungleich schwerer ist übrigens

die hier angehängte Aufgabe

(Anhang mit Recheneskapaden von mir dazu).

herman02 aktiv_icon

00:42 Uhr, 26.10.2023

Das ist ein interessantes Problem, ich werde es morgen Abend mal versuchen zu lösen, ich würde vermutlich versuchen eine Parametrisierung

z . B

. über einen der Winkel vorzunehmen, dann könnte sich evtl. einiges einfacher darstellen.

Danke auch für die Antworten auf die ursprüngliche Frage, der Weg über die auch von euch gefundene quadratische gleichung war auch mein erster Ansatz, hat zwar auch zum Ergebnis geführt, schien mir jedoch etwas unnötig aufwändig, daher hatte ich weitergesucht und einen Weg mit Hilfe der Diagonalen gefunden, der meiner Ansicht nach deutlich einfacher war, werde es morgen ordentlich aufschreiben und posten. Es dürfte aber noch weitere Möglichkeiten geben

Roman-22

02:33 Uhr, 26.10.2023

c \approx 151,17364845827805767 . .

.

Der genaue Wert findet sich im Anhang (ja, da ist wirklich einer, wenngleich nicht sehr gut erkennbar)

HAL9000

09:44 Uhr, 26.10.2023

Der von Roman reingebrachte Aspekt der "Rohkantholzlänge"

L

ist interessant, und

L

ist ja auch einfach zu berechnen:

Die Diagonale des Rechtecks

a \times b

ist zugleich Diagonale des Rohkantholz-Rechtecks

L \times d

, damit gilt

a^{2} + b^{2} = L^{2} + d^{2}

und somit das von Roman oben ja schon angegebene

L = \sqrt{a^{2} + b^{2} - d^{2}}

herman02 aktiv_icon

19:27 Uhr, 26.10.2023

Eine weitere Lösung für die ursprüngliche Fragestellung:

l = \frac{a}{s i n (a r c t a n (\frac{a}{b}) + t a n (\frac{d}{\sqrt{a ² + b ²}}))}

Roman-22

19:48 Uhr, 26.10.2023

>

Eine weitere Lösung für die ursprüngliche Fragestellung:
Nein diese Formel ist falsch!
Anstelle von

t a n

muss es

a r c s i n

heißen, dann stimmt es!

Also

l = \frac{a}{sin (a r c t a n \frac{a}{b} + a r c s i n \frac{d}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})}

Lässt sich nach Ersatz von

a r c t a n

durch

a r c s i n

und ein wenig Herumrechnen zu

l = \frac{a \cdot (a^{2} + b^{2})}{b d + a \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2} - d^{2}}}

umformen lässt, was durch entsprechendes Erweitern dann wieder in die schon angegebene Form zu bringen ist.

Randolph Esser aktiv_icon

02:50 Uhr, 27.10.2023

s i n (α) \cdot l = a

mit

α := a r c t a n (\frac{b}{a}) + a r c s i n (\frac{d}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})

,

clever, vor Allem die Winkelsumme mit dem kleine Extraeumel

a r c s i n (\frac{d}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})

...

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