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Differenzenquotient

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Kurvendiskussion

flower12 aktiv_icon

14:16 Uhr, 11.05.2012

Hallo,
ich weiß was ich bei folgender Teilaufgabe berechnen muss, doch leider kann ich es nicht.
Gegeben ist diese Funktion:

h (t) = - 0,0025 t^{3} + 0,04 t^{2} + 9,17

Beobachtungszeitraum: zwölf Stunden

(0 < t < 12)

t =

Zeit in Stunden
Aufgabe:

b)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.

Wie kann ich bei dieser Aufgabe den Differenzenquotient berechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

14:38 Uhr, 11.05.2012

...die Steig.-geschw. erhälst du ja über die Ableitung:

v (t) = \frac{d h (t)}{d t}

Die durchschnittl. Steig.-geschwindigkeit erhälst du ja, indem du die Fläche unter dieser Geschw.-funktion durch das Zeitintervall teilst:

v_{D} = \frac{1}{8} \cdot \int_{0}^{8} v (t) \cdot d t = \frac{1}{8} \cdot {[h (t)]}_{0}^{8} = \frac{1}{8} \cdot (h (8) - h (0)) = ...

.

;-)

Matlog aktiv_icon

16:33 Uhr, 11.05.2012

Hallo flower,

Du kannst natürlich auch sofort die mittlere Änderungsrate, also den Differenzenquotienten berechnen, einfach:

\frac{h (8) - h (0)}{8 - 0}

Atlantik aktiv_icon

18:12 Uhr, 11.05.2012

Es ginge auch noch so: (h-Methode)

h (t) = - 0,0025 t^{3} + 0,04 t^{2} + 9,17

h

(t) = lim_{h \to 0} \frac{- 0,0025 {(t + h)}^{3} + 0,04 {(t + h)}^{2} + 9,17 - (- 0,0025 t^{3} + 0,04 t^{2} + 9,17)}{h}

h

(t) = . .

h

(8) = . .

.

http//www.youtube.com/watch?v=9T5_Xty74YU

mfG
Atlantik

Matlog aktiv_icon

18:29 Uhr, 11.05.2012

Was Atlantik schreibt, ist allerdings jetzt was anderes, nämlich die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt

t = 8,

oder einfach die Steigung zum Zeitpunkt

t = 8

Atlantik aktiv_icon

18:57 Uhr, 11.05.2012

Also wäre die mittlere Änderungsrate die Steigung der Sekante zwischen A un

B

mit

m = 1,30625

.

mfG
Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Matlog aktiv_icon

19:03 Uhr, 11.05.2012

Ja, genau! Den Zahlenwert für

m

kann ich aber nicht bestätigen.

flower12 aktiv_icon

22:02 Uhr, 11.05.2012

Ich habe jetzt folgendes berechnet, doch weiß ich nicht was mir dieses Ergebnis sagt:

h (8) - h (0)

- - - - - - - - - = 0,14242

8 - 0

Habe ich damit den Differenzenquotient berechnet und somit die durchschnittliche Geschwindigkeit?

Matlog aktiv_icon

23:47 Uhr, 11.05.2012

Ja, das ist der Differenzenquotient (bedeuted: Quotient aus den Differenzen). Er gibt die durchschnittliche Steigung von

t = 0

bis

t = 8

an, also die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in dieser Zeit ansteigt.
Dies ist die Steigung der Sekante durch die Punkte

(0 | h (0))

und

(8 | h (8))

.

Aber mein Taschenrechner behauptet standhaft, dass dabei

0,16

heraus kommt.

flower12 aktiv_icon

09:16 Uhr, 12.05.2012

Ja,

0,16

stimmt. Ich habe wohl etwas falsches eingegeben.
Also ist

0,16

meine durchschnittliche Geschwindigkeit?
Und somit die Aufgabe schon gelöst?

Matlog aktiv_icon

10:07 Uhr, 12.05.2012

Ja,

0,16

(pro Stunde) ist die Antwort auf Deine Aufgabe

b)

oben.

Vielleicht nochmal zur Verdeutlichung, was Du da gerechnet hast:
In den ersten acht Stunden stieg der Wasserstand von

h (0) = 9,17

auf

h (8) = 10,45

.
Dann ist er in dieser Zeit um

h (8) - h (0) = 1,28

gestiegen. Teilt man dies durch die Anzahl der vergangenen Stunden, also

8 - 0 = 8,

dann erhält man den durchschnittlichen Anstieg von

\frac{1,28}{8} = 0,16

pro Stunde.

flower12 aktiv_icon

11:40 Uhr, 12.05.2012

Jetzt habe ich es verstanden.
Dankeschön für die genaue Erklärung! :-)

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