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Exponentialfunktionen, Schnittpunkte/Berührpunkte

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion

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18:53 Uhr, 27.10.2011

(Hallo nochmal, ich werde wieder 3 Aufgaben berechnen, ich hoffe man kann mir weiterhelfen wenn ich nicht weiterkomme, oder bestätigen dass ich richtig gerechnet habe. Ich habe schon von "Bummerang" gesagt bekommen, dass ich die Aufgaben aufteilen sollte in verschiedenen Threads, aber da ich nach diesen

3,

weitere 3 Aufgaben machen werde, wären das eindeutig zu viele Threads von einer einzigen Person.)

(Bitte Aufgaben so beantworten, dass ich dannach die Aufgaben vollständig verstehen kann, es ist schon ziemlich spät und muss heute wissen, wie sie gehen.)

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1.
Gegeben sind die Funktionen

f

und

g

mit

f (x) = 2 e^{2 x} - 1

und

g (x) = - x^{4} + 4 x + 1

a)

Zeigen Sie, dass sich beide Funktionen auf der y-Achse schneiden.

b)

Zeigen Sie, dass sich beide Funktionen im Schnittpunkt mit der y-Achse berühren und stellen Sie die Gleichung der gemeinsamen Tangente auf.

Lösung:

a)

f (0) = 2 e^{2 \cdot 0} - 1 = 1

g (0) = - 0^{4} + 4 \cdot 0 + 1 = 1

b)

Wie kann ich beweisen, dass sie sich berühren? Muss ich gleichsetzen?
Ich weiß, dass die Tangente eine Gleichung wie diese hier haben muss

: y = x + 1,

da sie nunmal durch 1 geht, aber gibt es da eine rechnerische Lösung?

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Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = e^{- 0,5 x} + 1

und der Punkt

P (4 | 0)

a)

Zeigen Sie, dass

f (x) \to 1

strebt für

x \to \infty

b)

Vom Punkt

P

kann man eine Tangente, die man von

Q

an den Graphen von

f

legen kann. Geben Sie den Berührpunkt und die Gleichung dieser Tangente an.

Lösung:

a)

Hier habe ich überhaupt keine Ahnung, wie ich das zeigen soll. "Übersetzt" soll es ja heißen, dass

f (x)

nie 1 wird, oder?

b)

Hier weiß ich leider auch nicht weiter.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:17 Uhr, 27.10.2011

1 a)

ist richtig.
Bei

1 b)

musst du noch

f' (0) = g' (0)

zeigen. Denn Berühren heißt aus mathematischer Sicht gleicher Funktionswert und gleiche Steigung. Dann setzt du einfach in die Formel für die Tangente

t : y = f' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})

deine Werte ein.

2 a)

Welcher Wert ergibt sich denn für den Grenzwert

lim_{x \to \infty} e^{- 0,5 x}

2 b)

Stelle erstmal die Funktionenschar aller Tangenten auf und schaue welche davon durch

P (4 | 0)

verläuft.

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22:36 Uhr, 27.10.2011

Okay, ich versuche es mal:

1 b)

f' (x) = 4 e^{2} x - 1

g' (x) = 4 \cdot {(- x)}^{3} + 4

4 e^{2 \cdot 0} - 1 = 4 \cdot {(- 0)}^{3} + 4

t (x) = 4 e^{2} x - 1 \cdot (x - 4) + 2 e^{2 x} - 1

Stimmt das?

2 a)

Also Grenzwert ist ja die Ableitung:

- 0,5 e^{- 0,5} x

War's das schon?

2 b)

Funktionenschar verstehe ich nicht, also eine Tangente die durch

P (4 | 0)

verläuft, sollte ja die Funktion

y = x - 4

haben. Aber ich weiß jetzt nicht wirklich ob das gefragt war.

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17:00 Uhr, 28.10.2011

Deine

1 b)

ist nicht ganz richtig. Beachte, dass konstante Summanden beim Ableiten wegfallen.

f' (x) = 4 e^{2 x}

und

g' (x) = - 4 x^{3} + 4

. Dann ergibt sich auch

f' (0) = 4 = g' (0)

. Und damit die Tangentengleichung

t : y = 4 x + 1

. Im Anhang noch ein Bild zur Aufgabe.
Zu

2 a)

"Also Grenzwert ist ja die Ableitung"
Das hast du jetzt total falsch verstanden. Es stimmt zwar, dass die Ableitung ein bestimmter Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion ist, aber das tut hier nichts zur Sache. Hier geht es wirklich nur darum den Grenzwert

lim_{x \to \infty} e^{- 0,5 x}

zu bestimmen. Um das etwas anschaulicher zu machen, kannst du immer größer werdende Zahlen für

x i n e^{- 0,5 x}

einsetzen. Dann wirst du womöglich erkennen was der Grenzwert ist.

2 b)

hast du leider immer noch nicht so richtig verstanden. Für die Tangentengleichung an einer beliebigen Stelle

x_{0}

gilt ja

t_{x_{0}} (x) = f' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})

. Die Werte deiner Funktion eingesetzt ergibt:

t_{x_{0}} (x) = - 0,5 e^{- 0,5 x_{0}} \cdot (x - x_{0}) + e^{- 0,5 x_{0}} + 1

Das ist jetzt die Funktionenschar aller Tangenten. Schaue jetzt welche Tangente davon durch

P (4 | 0)

verläuft.

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19:50 Uhr, 28.10.2011

Vielen Dank für Ihre Mühe :-)
Meine Mathearbeit liegt jetzt hinter mir, habe mir das jetzt auch durchgelesen, alles sehr genau erklärt, vielen Dank.

MfG

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19:57 Uhr, 28.10.2011

Keine Ursache.

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