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Exponentialgleichungen mit zwei Variablen

Schüler Fachgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Auflösen, Exponentialfunktion, zwei variblen

Hans9

11:18 Uhr, 14.08.2010

Hallo,

die Aufgabenstellung lautet simpel "Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen", bei letzteren habe ich mit zwei Variablen meine Schwierigkeiten...

1.

f (x) = - 2 e^{- \frac{1}{8} x} + t; t > 0

Die Gleichung wollte ich nun nach

x

auflösen:

2 e^{- \frac{1}{8} x} = t

e^{- \frac{1}{8} x} = 0,5 t

ln (e) \cdot 2 e^{- \frac{1}{8} x} = ln (0,5 t)

Hier ist das Problem, um weiter nach

x

aufzulösen müsste ich

\frac{ln (0,5 t)}{ln (e)}

teilen, das geht nur schlecht dank des t´s.

2. Für welche Werte von a hat die Gleichung

3 e^{- 2 x} + 2 a = 0

eine Lösung?
Geben Sie die Lösung in Abhängigkeit von a an.

Wenn man für a einen negativen Wert einsetzt, ist die Asymptote unter der x-Achse, von daher gibt es in dem Fall immer nur eine Nullstelle; bei

a > 0

gibt es keine Lösungen (ausprobiert per GTR)
Wie kann ich das mathematisch nachweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

slowpoke aktiv_icon

11:40 Uhr, 14.08.2010

1 . :

Hast glaub bisschen falsch umgestellt. Ich setz mal dort ein, bis wohins richtig ist:

e^{- \frac{1}{8} x} = 0,5 t

{ln e}^{- \frac{1}{8} x} = ln 0,5 t

bei

{ln e}^{- \frac{1}{8} x}

könntest du dir ja die Frage stellen:

e

hoch wieviel ist

e^{- \frac{1}{8} x}

.
Die richhtige Antwort ist:

- \frac{1}{8} x

also:

- \frac{1}{8} x = ln 0,5 t

x = ln 0,5 t \cdot (- 8) = - 8 ln 0,5 t

Shipwater aktiv_icon

11:45 Uhr, 14.08.2010

3 e^{- 2 x} + 2 a = 0

3 e^{- 2 x} = - 2 a

e^{- 2 x} = - \frac{2}{3} a

e-Funktionen sind immer positiv, demnach gibt es keine Lösung, wenn

- \frac{2}{3} a

negativ oder 0 wird:

- \frac{2}{3} a \leq 0

\Rightarrow a \geq 0

Für alle

a \in ℝ_{0}^{+}

gibt es also keine Lösung. Für den Rest also für

a \in ℝ^{-}

gibt es folglich eine Lösung.
Noch nach

x

auflösen:

- 2 x = ln (- \frac{2}{3} a)

x = - \frac{1}{2} \cdot ln (- \frac{2}{3} a)

Gruß Shipwater

slowpoke aktiv_icon

12:15 Uhr, 14.08.2010

@Shipwater
Das hätt ich genau anders rum gesagt. Da die e-Funktion nicht 0 oder negativ werden kann, muss doch das a negativ sein, damit die Gleichung 0 wird.
also:

a \in ℝ^{-}

slowpoke aktiv_icon

12:20 Uhr, 14.08.2010

OK Shipater. Ich les gerade deine Antwort nochmal. Hattest Recht.
Augen auf beim Eierkauf

x_{D}

Shipwater aktiv_icon

12:26 Uhr, 14.08.2010

Das hätt ich genau anders rum gesagt. Da die e-Funktion nicht 0 oder negativ werden kann, muss doch das a negativ sein, damit die Gleichung 0 wird.

Was meinst du mit "damit die Gleichung 0 wird"? Meinst du möglicherweise, damit die Gleichung eine Lösung hat?

Gruß Shipwater

slowpoke aktiv_icon

15:32 Uhr, 14.08.2010

Ja Shipwater, ich meinte, dass die Gleichung eine Lösung hat. War etwas unglücklich formuliert. Aber du hattest schon Recht ;-)

Shipwater aktiv_icon

16:16 Uhr, 14.08.2010

Alles klar ;-)

Hans9

21:20 Uhr, 15.08.2010

Danke euch beiden, habe es durchblickt und verstanden ;-).

Shipwater aktiv_icon

21:56 Uhr, 16.08.2010

Gern geschehen.

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