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Extremalprobleme

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwert, Fläche, Maximum, Minimum, Umfang

lisa2344 aktiv_icon

17:58 Uhr, 16.03.2017

Hallo ihr lieben,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Wie muss ein Abwasserkanal, dessen Querschnittsfläche von der Form eines Halbkreises
mit aufgesetztem Rechteck ist, gebaut werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 2 m² der Umfang maximal ist?

Meine Überlegungen dazu:

HB:

U : π \cdot r + 2 a + 2 r

(Wobei a für die Seite des Rechteckes steht)

NB:

2 = \frac{1}{2} π \cdot r^{2} + a \cdot 2 r

nach a umgestellt würde dies dann lauten:

a = \frac{1}{r} - \frac{1}{4} π \cdot r

ZF:

U (r) = π \cdot r + \frac{2}{r} - \frac{1}{2} π \cdot r + 2 r

U' (r) = π + \frac{- 2}{r^{2}} - \frac{1}{2} π + 2

U' (r) = 0

stimmt das soweit ?
Und jetzt weiß ich nicht wie ich die Ableitungsfunktion im Kopf umstelle, sodass ich auf das

r

komme.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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18:12 Uhr, 16.03.2017

U' (r) = \frac{π}{2} + 2 - \frac{2}{r^{2}} = 0

\frac{2}{r^{2}} = \frac{π + 4}{2}

\frac{r^{2}}{2} = \frac{2}{π + 4}

. .

lisa2344 aktiv_icon

18:24 Uhr, 16.03.2017

wäre

r = \sqrt{π + 4}

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18:32 Uhr, 16.03.2017

Beide Seiten

\cdot 2

liefert:

r^{2} = \frac{4}{π + 4}

r = \sqrt{\frac{4}{π + 4}} = \frac{2}{\sqrt{π + 4}}

lisa2344 aktiv_icon

18:39 Uhr, 16.03.2017

hab meinen fehler gefunden danke :-)

Wenn ich dieses

r

jetzt mit der 2.Ableitung teste:

U'' (r) = \frac{4}{r^{3}}

und wenn ich

r

einsetze kommt dabei ja etwas positives raus und das wäre größer als 0 und somit ein Tiefpunkt (Minimum) ..ich suche allerdings das maximum..

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18:50 Uhr, 16.03.2017

Sehe gerade, dein

U

stimmt nicht;

U = r \cdot π + 2 a

Der Kanal ist oben offen, der Durchmesser des Halbkreises zählt nicht zum Umfang.
Der Umfang sieht aus wie ein U.

lisa2344 aktiv_icon

18:55 Uhr, 16.03.2017

Ich dachte die skizze würde so aussehen wegen dem aufgesetzten rechteck...

Quasi so in natura

www.google.de/search?q=abwasserkanal&client=firefox-b&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiVyJKgzNvSAhWFWBQKHWszC9MQ_AUIBygC&biw=1366&bih=631#imgrc=OhCx8WBwK2jB-M:

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18:59 Uhr, 16.03.2017

r \cdot π

stimmt natürlich,habs soeben ediert.

Das Rechteck ist oben

(s

. Text),es ist es nach oben offen.

Roman-22

19:01 Uhr, 16.03.2017

Ob der Kanal offen oder geschlossen ist, das ist bei diesem Aufgabenklassiker ein Quell ständiger Diskussionen. Wenns in der Aufgabenstellung nicht eindeutiger festgelegt wird, dann sind beide Rechnungsvarianten als korrekt anzusehen.
Beim Begriff "Abwasserkanal" würde ich eher zu lisas geschlossener Variante tendieren.

@lisa: Bist du sicher, dass der Umfang maximiert werden soll und nicht doch eher minimiert. Letzteres wäre die übliche Aufgabenstellung!

Atlantik aktiv_icon

19:06 Uhr, 16.03.2017

Ich tendiere bei dem Abwasserkanal eher zu der oben geschlossenen Version (eben auch aus Geruchsgründen ). Mathematisch ist Umfang ja einmal ganz herum ohne Lücke.

mfG

Atlantik

B i l d :

lisa2344 aktiv_icon

19:10 Uhr, 16.03.2017

Danke an alle, aber so bleibt ja die formel für den umfang gleich und ich habe trotzdem kein minimum..

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19:12 Uhr, 16.03.2017

Ihr habt Recht, in Deutschland zumindest weitestgehend . In Entwicklungsländern oder auch China mag das wohl anders aussehen.:-)

lisa2344 aktiv_icon

19:15 Uhr, 16.03.2017

Sicherlich :-)

nur leider komme ich unabhängig davon, ob er offen ist oder nicht auf kein Maximum

\frac{:}{}

Roman-22

19:20 Uhr, 16.03.2017

Für die geschlossene Variante spricht auch, dass die Lösung da nicht trivial ist. Beim offenen Kanal stellst sich (für minimalen Umfang) eine halbkreisförmiger Querschnitt ohne Rechteck ein, also

a = 0

>

und ich habe trotzdem kein minimum..
Du meinst, es ist tatsächlich der maximale Umfang gesucht. Der beträgt aber Unendlich. Und zwar unabhängig davon, ob man von einem geschlossenem oder einem offenen Kanal ausgeht.
Wähle einen sehr kleinen Kreisradius, sagen wir mal r=1cm. Dann müsste

a = 99,992 m

sein, damit die Querschnittsfläche wie verlangt

2 m^{2}

beträgt. Der Umfang ist jetzt also fast

200

Meter. Wählen wir r=1mm, dann erhalten wir

a \approx 999,999 m

und der Umfang beträgt in etwa 2 Kilometer. Bei

r = 1 μ m

haben wir dann schon einen Umfang von ca.

2000

Kilometer! Wenn also

r

gegen Null strebt, dann strebt der Umfang gegen unendlich.
Der Umfang kann also beliebig groß gemacht werden, weswegen die Frage nach dem maximalen Umfang bei gegebener Querschnittfläche sinnlos ist.

Sinn bei dieser Aufgabe machen entweder minimaler Umfang bei gegebenen Querschnitt oder maximaler Querschnitt bei gegebenem Umfang.

lisa2344 aktiv_icon

19:26 Uhr, 16.03.2017

Ich kann mich deinen Ausführungen nur anschließen,da muss wohl ein Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen, denn dort steht definitiv maximaler Umfang.

Ich danke allen und wünsche noch einen schönen Abend

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19:36 Uhr, 16.03.2017

Wiedermal ein Fehler im Buch. Kommt öfter vor. Sehr ärgerlich.

lisa2344 aktiv_icon

19:38 Uhr, 16.03.2017

Ja richtig, weil man sich dann ewig mit solchen Aufgaben befasst..

Roman-22

20:19 Uhr, 16.03.2017

>

weil man sich dann ewig mit solchen Aufgaben befasst..
ewig ist nicht gut, aber ein wenig mehr, als wenn man eine Aufgabe

08 / 15

unternudelt ist schon auch positiv.
Hier kann man zum Beispiel mal anfangen sich zu überlegen, in welchem Bereich die Funktion

u (r)

überhaupt gültig ist und kommt vielleicht drauf, dass das nur für

r

von 0 bis

\frac{2}{\sqrt{π}}

der Fall ist. außerhalb dieses Bereichs ist die Funktion für die Aufgabe also nicht relevant. Das ist auch bei anderen Aufgaben wichtig, weil man sich nach der ganzen Ableiterei und dem Nullsetzen immer auch noch den Randbereich ansehen muss. Hat man durchs Ableiten zB ein relatives Minumum gefunden, so könnte es ja trotzdem so sein, dass man an einem der Ränder einen noch kleineren Wert vorliegen hat (da ist dann halt die Ableitung nicht Null) und dieser das absolute Minimum darstellt.

Außerdem kann es nie schaden, sich die Funktion auch plotten zu lassen. Das stärkt die Vorstellung.
Im gegenständlichen Fall sieht man deutlich, dass die Kurve für

r \to 0

ins Unendliche wächst und dass wir bei

\frac{2}{\sqrt{4 + π}}

das Minumum haben.
Bild2

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