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Extrempunkte mit Substitutionsverfahren ausrechnen

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Extremstellen, Hochpunkt, Substitutionsverfahren, Tiefpunkt

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mathelerner

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18:50 Uhr, 09.05.2010

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Hallo :-)
Ich habe gerade ein Problem, ich möchte folgende Funktion

f (x) = 0,1 x^{5} - 1,33 x^{3} + 6 x

Berechnen und alle Parameter bestimmen die man so ausrechnen kann.

Meine Ideen:
Da ich durch Probieren keine Nullstellen gefunden habe ich aus der Funktion folgendes gemacht.

Ausgangsfunktion:

f (x) = 0,1 x^{5} - 1,33 x^{3} + 6 x

\to

Ausklammern

x (0,1 x^{4} - 1,33 x^{2} + 6)

Substitutionsverfahren:

z = x 2

f (z) = 0,1 z^{2} - 1,33 z + 6 = 0 | : 0,1

f (z) = z^{2} - 13,3 z + 60 = 0

PQ - Formel.

Und am Ender der PQ-Formel habe ich dann unter der Wurzel

- 15,8

stehen.

Ich weiß also dass es keine weiteren Nullstellen gibt. Also habe ich nur eine 0 Stelle bei

0 | 0

Wie geht es denn weiter, also ich möchte jetzt zum Beispiel die Hoch und Tiefpunkte ausrechnen. Also würde ich jetzt die erste Ableitung nehmen und folgende Polynomdivision aufstellen.

0,5 x^{4} - 3,99 x^{2} + 6 : (x - 0) =

Aber irgendwie denke ich dass dieser Schritt schon falsch ist.
Muss ich bei den Extrempunkten evtl. auch irgendwas mit dem Substitutionsverfahren machen???
Laut TurboPlot gibt es jeweils zwei Hoch und zwei Tiefpunkte.
Leider finde ich halt keinen Weg.
Vielleicht kann mir einer den richtigen Denkanstoß geben. Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort

Shipwater

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18:54 Uhr, 09.05.2010

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Substitution hört sich gut an.

Gruß Shipwater

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Knowx

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18:55 Uhr, 09.05.2010

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du hast schon alles richtig gemacht, die funktion hat nur eine nullstelle

mathelerner

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18:57 Uhr, 09.05.2010

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Ok, also würde ich jetzt das Substitutionsverfahren auf die erste Ableitung anwenden.

D . h

. ich hwürde wieder

z = x^{2}

nennen. Moment ich probiere das mal aus ;-)

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Shipwater

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19:01 Uhr, 09.05.2010

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Ja, genau so.

mathelerner

mathelerner aktiv_icon

20:15 Uhr, 09.05.2010

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Irgendwie bin ich mit meinem Ergebnis noch nicht ganz zufrieden habe folgendes Versucht:

f' (x) = 0,5 x^{4} - 3,99 x^{2} + 6 z = x^{2}

f' (z) = 0,5 z^{2} - 3,99 z + 6 | : 0,5

f' (z) = z^{2} - 7,98 z + 12

PQ Formel:

dann habe ich einmal

- 2,02

raus und

- 5,96

irgendwie passt mir das nicht :-D)

...

.

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Shipwater

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20:17 Uhr, 09.05.2010

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Mach die Minuse weg und es stimmt ;-)

mathelerner

mathelerner aktiv_icon

20:26 Uhr, 09.05.2010

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Ich weiß warum ich Mathe nicht so gerne mag :-D)

...

. aber ich will es jetzt mal alles brav lernen und weiter machen. Dankeschön. Wenn ich noch eine Frage habe melde ich mich wieder ;-)

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

20:34 Uhr, 09.05.2010

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Alles klar.

mathelerner

mathelerner aktiv_icon

20:47 Uhr, 09.05.2010

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Ohhhhhhh man ich glaube es ist schon zu spät für heute :-D)

...

. also ich habe jetzt die wurzel aus

2,02

und

5,96

gezogen und es kommen tatsächlich die Ergebnisse raus.

d . h

. ich kann diese jetzt in die zweite Ableitung einsetzen und bekomme heraus ob es sich um einen Hoch oder Tiefpunkt handelt gelle

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Shipwater

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20:48 Uhr, 09.05.2010

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Ja,

f'' (x) > 0 \Rightarrow

Minimum und

f'' (x) < 0 \Rightarrow

Maximum

mathelerner

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21:12 Uhr, 09.05.2010

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Kurze frage die 3 Ableitung ist doch

6 x

oder doch

6 x - 7,98

mathelerner

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21:15 Uhr, 09.05.2010

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Schon ok, hab es gerade selber arausbekommen :-D)

...

. man man man.... hab jetzt auch die Wendepunkte bestimmen können. Langsam macht es spaß :-)

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

21:17 Uhr, 09.05.2010

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Kaum zu fassen oder. ;-)
Und die dritte Ableitung wäre

f''' (x) = 6 x^{2} - 7,98

gewesen.

mathelerner

mathelerner aktiv_icon

21:27 Uhr, 09.05.2010

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Kuriosewerseise hat tatsächlich alles gut geklappt :-) Dankeschön

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

21:53 Uhr, 09.05.2010

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Gern geschehen.

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