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Extremstellen berechnen 5 verschiedenen Möglichkei

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Extremstellen, Hochpunkt, Maximum, Minimum, Tiefpunkt

casinterface aktiv_icon

18:42 Uhr, 18.12.2010

Hallo,

ich muss am Montag eine Mathearbeit schreiben und kann es bis jetzt leider fast gar nicht.
Wir háben Wochenlang nur Ableitungen geübt und die eigentliche Aufgabe nur 1 Stunde.

Im Internet steht nur, dass man die 1.Ableitung

= 0

setzen muss und dann

x

ausrechnet.

!!!Aber ich möchte wissen, wie man das rechnet,

z . B

. mit quadratische Ergänzung, p-Q-Formel etc.

Es wäre schön, wenn Jemand mir für folgenden Möglichkeiten eine Musterechnung gibt, damit ich das nachvollziehen kann:

1. x-Ausklammern
2. quadratische Ergänzung
3. Pq-Formel
4. Polynomdivison
5. Substitutuon

Also soweit kann ich es:

Beispielaufgabe:

f (x) =

x^4-4x³+4x²

f' (x) =

4x³-12x²+8x

f'' (x) =

12x²-24x+8

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

f' (x) = 0

4x³-12x²+8x=0

x(4x²-12x+8)=0

4x²-12x+8=0

/ 4

x²-3x+2=0

Und dann weiß ich nicht weiter

Das war ja nur 1. Möglichkeit, x-Ausklammern.

Und wie sieht es mit dem Rest aus und wie geht es oben weiter?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

18:46 Uhr, 18.12.2010

x (4 x^{2} - 12 x + 8) = 0

Hieraus ergibt sich die erste Lösung

x_{1} = 0

. Bleibt noch der zweite Faktor:

4 x^{2} - 12 x + 8 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0

Jetzt kannst du die pq-Formel anwenden:

Gruß Shipwater

casinterface aktiv_icon

00:33 Uhr, 19.12.2010

Also ich kann das wirklich nicht und wir schreiben schon am Montag.

Ich hab die erste Ableitung gleich 0 gesetzt (einfach 1.Ableitung abschreiben und "=0" hinterschreiben).

Dann muss man gucken, was man das ausrechnen kann.

Mit disen 5 Möglichkeiten.

Woher weiß ich welche Möglichkeit und wenn ich sie dann weiß, wie kann ich sie anwenden?

z . B

. bei der PQ-Formel

was ist

q

und was ist

p .

Ich hab doch nur x-Zahlen.

Und warum schreibst du der erste Wert ist schonmal

x = 0

ich dachte wir müssen immer die 1.Ableitung

= 0

setzen
dann ist doch immer der Wert so.

Wie kann ich das ausrechnen.
Ich möchte bitte eine ausführliche Erklärung, bitte.

Die Zahlen(en) die ich dann raus habe, muss ich dann in

f'' (x)

einsetzen, ne

Das ist ja dann einfach.

Die Schwierigkeit ist einfach die quadratische Ergänzung etc.

Ich weiß nicht wie viele x-Werte rauskommen müssen.

Einmal

3,

dann nur

2 .

Ich bitte Sie wirklich undflehe sie an.

Danke

Zeus55 aktiv_icon

03:50 Uhr, 19.12.2010

Ok dann Versuch ich das mal ausführlich zu erklären:

1. x-Ausklammern
2. Pq-Formel
3. Polynomdivison
4. Substitutuon
5. quadratische Ergänzung

Fangen wir mit der 1 an und bleiben auch bei deinem Beispiel.

4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x = 0

Wie du schon ganz richtig gemacht hast kann man hier

x

ausklammern und hat somit die erste Nullstelle. Warum ?
Eigentich ganz einfach:
Hier ist

x

ausgeklammert:

x \cdot (4 x^{2} - 12 x + 8) = 0

Du willst jetzt wissen wann der term

x \cdot (4 x^{2} - 12 x + 8)

Null wird
Er wird Null falls ein Fakor davon Null wird,d.h. Falls

x = 0

ist oder Falls

4 x^{2} - 12 x + 8 = 0

ist
Denn

0 \cdot (4 x^{2} - 12 x + 8) = 0

bzw

x \cdot 0 = 0

Also erste Nullstelle:

x_{1} = 0

Das wars eigentlich schon zum ausklammern.

2.)pq-Formel
Die pq-Formel nutz man um ein Polynom 2.Grades nach

x

aufzulösen.
Ein Polynom 2.Grades wäre zum Beispiel das hier:

4 x^{2} - 12 x + 8 = 0

Um die pq-Formel anzuwenden darf vor dem "x²" keine 4 stehen(auch keine

0,5

oder sonst was anderes sondern da darf nur

x^{2}

stehen)
also tilt man die gleichung durch 4.

4 x^{2} - 12 x + 8 = 0 | : 4

x^{2} - 3 x + 2 = 0

Die Gleichung hat nun die Form
x^2+px+q=0

p = - 3

und

q = 2

Damits auch wirklich klar ist hier noch ein weiteres Bsp.:

x^{2} - \frac{1}{3} x - \sqrt{2} = 0

hier wäre

p = - \frac{1}{3}

und

q = - \sqrt{2}

Jetzt wieder zu deiner Aufgabe:

p

und

q

musst du nun einsetzten in die Formel die Shipwater schon gepostet hat:

x_{1; 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt[]{\frac{p^{2}}{4} - q}

so bekommst du

x_{1; 2} = 1,5 \pm 0,5

x_{2} = 1

x_{3} = 2

Ich hab nicht

x_{1}

verwendet da wir oben ja schon die erste Nulstelle hatten

x_{1} = 0

Daher

x_{2}

und

x_{3}

3.Polynomdivison
Die Polynom Division nutz man um

z . b

. ein Polynom 3.Grades, das man ja mit der pq-Formel nicht lösen kann, auf ein Polynom 2 Grades zu reduzieren.
Die Anwenung sieht für dich so aus.
Du hast eine Gleichung

z . b

x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0

Um die Polyom division anzuwenden brauchst du aber eine Nullstelle.
Die musst du erraten, ja klingt doof ist aber so. Sind meist einfache Nullstellen.
Setzt einfach mal die Zahlen. Hier ist

z . b

- 1

eine.
Das Polynom wird jetzt sozusagen durch die Nustelle geteilt und die Nullstelle ist ja

x = - 1

also

x + 1 = 0

\Rightarrow

(x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) : (x + 1) = . .

.
Ich hoffe die Polynodivison an sich kannst du?
Die lösung wäre falls

c

mich nicht berrechnet hab

x^{2} - 3 x + 2

4.Substitution:
Die Substitution wendet man dann an um ein gerade Polynom zu Lösen. Gerade heist alle Exponenten sind gerade Zahlen. BSP.:

x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0

Theoretisch könnte man auch 2 Nullstellen erraten. 2 mal die Polynomdivison anwenden. Dann hätte man wieder ein Polynom 2. Gardes, welches man über die pq-Formel lösen kann.
Aber mit der Substitution geht das schneller.

x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0

so und nun sagen wir einfach

x^{2} = z

und setzten das in die gleichung ein:

z^{2} - 3 z + 2 = 0

So nun kommt pq-Formel.

p = - 3

und

q = 2

z_{1; 2} = 1,5 \pm 0,5

z_{1} = 1

z_{2} = 2

das muss man nun wieder in

x^{2} = z

einsetzten

x^{2} = 1

x^{2} = 2

so erhälst du die lösungen

x_{1} = 1

x_{2} = - 1

x_{3} = \sqrt{2}

x_{4} = - \sqrt{2}

Fehlt nur noch die Quadratische Ergänzung...

Zeus55 aktiv_icon

04:18 Uhr, 19.12.2010

5.Quadratische Ergänzung:
Die quadratische ergänzung kann man recht flexibel einsetzten.
Bei quadrtischen gleichungen oder auch bei der Gleichung von der Substitution.
Fakt ist aber das man sie eigentlich imer umgehen kann(durch pq-Formel und Substitution). Falls also dein lehrer nicht in einer aufgabe auf ihre verwendung besteht wirst du sie nicht brauchen.
Trotzde hier ien kleines beispiel

x^{2} - 3 x + 2 = 0

durc die binomische formel

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}

kann man das ganze jetzt verinfachen.
man fängt beim

x^{2}

an. Man zieht die wurzel aus

a^{2} = x^{2}

also x(die lösung

- x

braucht man nicht;man käme aber auch mit ihr auf das sebe ergebnis)

a = x

jezt sieht die binomische formel so aus

{(x + b)}^{2} = x^{2} + 2 x \cdot b + b^{2}

- 3 x = 2 x \cdot b

b = - 1,5

{(x - 1,5)}^{2} = x^{2} - 3 x + 2,25

das ist ja leider nicht das selbe wie

x^{2} - 3 x + 2

{(x - 1,5)}^{2} = x^{2} - 3 x + 2,25 | - 0,25

{(x - 1,5)}^{2} - 0,25 = x^{2} - 3 x + 2

also jetzt wird eingestezt in

x^{2} - 3 x + 2 = 0

und man erhält

{(x - 1,5)}^{2} - 0,25 = 0

und das kann man nun ganz einfach lösen
und man erhält die lösung

x_{1} = 1

und

x_{2} = 2

.
Es ist schwierig das ganze schriftlich zu erklären.
Die Vorgehens weise ist nicht falsch aber sehr ausführlich. Mit ein bisschen übung kann man das ganze deutlich schneller machen.
wenn lust hast kannst du das ganze ja mal für die gleichung x^2+px+q=0 machen
Kleiner tipp die lösung des ganzen ist die pq-Formel...

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