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Extremwert Kugel Zylinder

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben, Kugel, Volumen, Zylinder

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good-feeling

17:30 Uhr, 28.02.2008

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Hallo,

Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen:

Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Zylinder mit möglichst großem Rauminhalt entsteht . Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen?

Es handelt sich hier um eine Extremwertaufgabe

Habe bis jetzt:

R= Kugelradius

r= Zylinderradius

h= Höhe des Zylinders

jetzt würde ich Phytagoras anwenden indem ich sage:

r^2+0,5h^2=R^2 nach r^2 auflösen

r2=R^2-h^2

Volumen Zylinder: phi*r^2*h

wenn ich das einsetzte habe ich dann:

phi*(R^2-0,5h^2)*h = max

dann hätte ich jetzt nach dem auflösen: (phi*R^2-0,5*phi*h^2)*h
also: phi*h*R^2-0,5*phi*h^3 und würde das jetzt ableiten
also: 2*phi*R-1,5*phi*h^2 und null setzen
2*phi*R-1,5*phi*h^2=0 jetzt doch nur auflösen, oder?

jetzt würde ich gerne wissen, ob mein weg bis dahin richtig ist?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

10:49 Uhr, 29.02.2008

Antworten

jetzt würde ich Phytagoras anwenden, indem ich sage:

r^2 + (0,5h)^2 = R^2

nach r^2 auflösen:

r^2 = R^2 - (h/2)^2

Volumen Zylinder: Pi*r^2*h

wenn ich das einsetzte habe ich dann:

V(h) = Pi*(R^2 - (0,5h)^2)*h

dann hätte ich jetzt nach dem Auflösen:

V(h) = (Pi*R^2 - 0,25*Pi*h^2)*h

also:

V(h) = Pi*h*R^2 - 0,25*Pi*h^3

und würde das jetzt nach h ableiten

also:

V '(h) = Pi*R^2 - 0,75*Pi*h^2

und null setzen:

Pi*R^2 - 0,75*Pi*h^2 = 0

jetzt doch nur auflösen:

jetzt würde ich gerne wissen, ob mein weg bis dahin richtig ist?

Soweit ok.

GRUSS, DK2ZA

Frage beantwortet

good-feeling

13:11 Uhr, 29.02.2008

Antworten

gut danke!

Dann kann es passen!

Antwort

blubbe

blubbe aktiv_icon

15:35 Uhr, 23.02.2009

Antworten

hab mal ne frage zum Lösungsweg von good-feeling:

am anfang is noch alles klar, aber dann:

φ \cdot (R^{2} - 0,5 h^{2}) \cdot h = max - \to

ok

nach dem auflösen:

(φ \cdot R^{2} - 0,5 \cdot φ \cdot h^{2}) \cdot h - \to

ok

also:

φ \cdot h \cdot R^{2} - 0,5 \cdot φ \cdot h^{3}

und würde das jetzt ableiten

- \to

ok

also:

2 \cdot φ \cdot R - 1,5 \cdot φ \cdot h^{2}

und null setzen

- \to

nich ok, oder?

müsste die erste ableitung nicht

R^{2} \cdot φ - 1,5 \cdot φ \cdot h^{2}

heißen?

thanks!!

=)

Antwort

DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

17:16 Uhr, 23.02.2009

Antworten

Es muss heißen

{(0,5 \cdot h)}^{2},

nicht

0,5 \cdot h^{2}

.

Dann haben wir:

V (h) = π \cdot (R^{2} - {(\frac{h}{2})}^{2}) \cdot h

V' (h) = π \cdot R^{2} - \frac{3}{4} \cdot π \cdot h^{2}

V' (h) = 0

setzen:

π \cdot R^{2} = \frac{3}{4} \cdot π \cdot h^{2}

R^{2} = \frac{3}{4} \cdot h^{2}

\frac{4}{3} \cdot R^{2} = h^{2}

h = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot R

r = \sqrt{(\frac{2}{3})} \cdot R

GRUSS, DK2ZA

Antwort

blubbe

blubbe aktiv_icon

11:13 Uhr, 24.02.2009

Antworten

heyy!!
wie kommt man denn von

π \cdot R 2 = \frac{3}{4} \cdot π \cdot h 2

nach

h = \frac{2}{3} \cdot R

??

Antwort

Edddi

Edddi aktiv_icon

11:18 Uhr, 24.02.2009

Antworten

Π \cdot R^{2} = \frac{3}{4} \cdot Π \cdot h^{2} | \cdot \frac{1}{Π}

R^{2} = \frac{3}{4} \cdot h^{2} | \cdot \frac{4}{3}

\frac{4}{3} \cdot R^{2} = h^{2}

\sqrt{\frac{4}{3} \cdot R^{2}} = \sqrt{h^{2}}

\sqrt{\frac{4}{3}} \cdot R = h

\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} \cdot R = h

\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot R = h

:-)

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