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Extremwertaufgabe Dreiecksfläche

Schüler

Tags: Dreieck, Extremwertaufgabe, Maximum, Ungleichung

Golanos aktiv_icon

07:55 Uhr, 18.03.2025

Es sind folgende Punkte gegeben:

P (4,0) Q (u,0) R (u, f (u)),

wobei

u > 4

sei. Gesucht ist jenes

u,

bei dem das Dreieck PQR die maximale Fläche hat.

Die Hauptbedingung dazu ist wohl

A = (\frac{1}{2}) \cdot u \cdot f (u)

. Die Nebenbedingung erschliest sich uns nicht.

Meine Überlegungen dazu sind: Das Dreieck PQR ist ein rechtwinklinges Dreieck, weil die Punkt

P

und

Q

gemeinsam auf der X-Achse liegen und die Punkt

Q

und

R

gemeinsam auf einer Geraden

x = u

liegen.

Nachdem bei diesem Beispiel keine andere Angabe vorhanden ist, finde ich keinen Ansatz. Für mich wäre die Lösung, dass die Fläche dann maximal ist, wenn

u

unendlich ist. Was übersehe ich?

Hintergrund: Das war ein Schularbeitenbeispiel aus dem Vorjahr

(11

. Schulstufe Gymnasium). Meine Tochter hat sich damit auf ihre Schularbeit vorbereitet. Wir sind hier nicht weitergekommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

08:12 Uhr, 18.03.2025

Hallo
Aus dem was du uns zeigst und schreibst hast du absolut recht. Je größer

u,

desto größer das Dreieck und dessen Fläche.

Vielleicht zeigst du mal (einen Scan der) die gesamte Aufgabe im Zusammenhang. Vielleicht erschließt sich hieraus mehr Sinn oder Verständnis...

HAL9000

08:29 Uhr, 18.03.2025

P Q R

ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen

∣ P Q ∣ = u - 4

sowie

∣ Q R ∣ = f (u)

. Der richtige Flächeninhalt dieses Dreieckes ist daher

A = \frac{1}{2} \cdot (u - 4) \cdot f (u)

.

Nebenbedingung ist lediglich

u > 4

. Da du Funktion

f

vor uns geheim hältst, lässt sich an der Stelle nun nichts weiter dazu sagen.

Golanos aktiv_icon

09:16 Uhr, 18.03.2025

Danke für den Hinweis, ja ich habe natürlich den Flächeninhalt falsch notiert.

Nein, ich halte nichts geheim, deshalb habe ich auch die Aufgabe vom Mathelehrer als Datei hinzugefügt. Es gibt keine weiteren Angaben oder Bedingungen. Dieses Beispiel ist auch keine Folgeaufgabe eines anderen Beispiels.

Das bedeutet, dass hier bei der Angabe etwas fehlt, um es korrekt lösen zu können. Vielen Dank euch beiden.

HAL9000

09:17 Uhr, 18.03.2025

Der Aufgabenformulierung nach ist

f

gegeben - wenn man den Scanbereich allerdings so eng wählt, dass diese Info abgeschnitten wird... Wenn du das nicht warst, dann erkundige dich nach der kompletten Aufgabenstellung, mit allen relevanten Infos.

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09:24 Uhr, 18.03.2025

Ich habe jetzt die komplette Seite angehängt. Ich sehe hier keinen Zusammenhang zwischen den Beispielen. Vielleicht übersehe ich dennoch was. DAnke für die Unterstützung.

calc007

09:31 Uhr, 18.03.2025

Oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, OH JE !

Ist dir eigentlich klar, dass du uns (mindestens) die Angabe

f (x) = \frac{18 \cdot x - 27}{x^{3}}

unterschlagen hast ??

Golanos aktiv_icon

09:36 Uhr, 18.03.2025

Aufgrund der Angabe

f (u)

und oben in der Angabe

f (x)

sehe ich keinen Zusammenhang, aber wenn ich davon ausgehen darf, dass

f (x) = f (u)

. Dann schaue ich mir das nochmals an. Aufgrund der unterschiedlichen Aufgaben und weil ich nicht genau geschaut habe (my bad) sah ich echt keinen Zusammenhang und bin davon ausgegangen (weil ich eben nicht genau geschaut habe) dass

f (x)

nur zum ersten Beispiel gehört.

Sorry, für eure Zeit.

Ich schau es mir nochmals an und wenn ich und meine Tochter jetzt trotzdem nicht weiterkommen, wende ich mcih wieder an euch.

Nichts für ungut und danke für eure Geduld.

HAL9000

09:41 Uhr, 18.03.2025

> Aufgrund der Angabe

f (u)

und oben in der Angabe

f (x)

sehe ich keinen Zusammenhang, aber wenn ich davon ausgehen darf, dass

f (x) = f (u)

Da liegt deinerseits leider ein fundamentales Unverständnis des Funktionsbegriffs bzw. deren Symbolik vor: Argumentbezeichnung

x

ist lediglich als Platzhalter zu verstehen, d.h. wenn

f (x) = \frac{18 x - 27}{x^{3}}

gegeben ist, dann ist sofort

f (u) = \frac{18 u - 27}{u^{3}}

klar, oder

f (ξ) = \frac{18 ξ - 27}{ξ^{3}}

und und und...

calc007

09:49 Uhr, 18.03.2025

Oder wenn ich ergänzen darf:

f (x)

ist die Funktionsvorschrift allgemein für alle Stellen

x,

f (777)

ist der Funktionswert an der Stelle

777,

f (k)

wäre der Funktionswert an der Stelle

k,

f (u)

ist der Funktionswert an der Stelle

u,

die in Teilaufgabe

b) 1)

näher spezifiziert ist...

: - (

HAL9000

10:05 Uhr, 18.03.2025

> und wenn ich und meine Tochter jetzt trotzdem nicht weiterkommen, wende ich mich wieder an euch.

Ja, dazu ist das Forum ja da. Und in Zukunft besser gleich die komplette Aufgabenstellung posten - auch und gerade dann, wenn du dir unsicher darüber bist, ob in der Teilaufgabe Angaben fehlen.

Golanos aktiv_icon

17:48 Uhr, 18.03.2025

Ich fühle mich wieder in der Schule :-D).

Also ich bin das jetzt so angegangen:

Die Hauptbedingung (korrigiert von HAL9000) ist

A (u) = \frac{1}{2} \cdot (u - 4) \cdot f (u)

. Die Nebenbedingung ist

u > 4

.

Dadurch habe ich die Funktion

A (u) = \frac{1}{2} \cdot (u - 4) \cdot (\frac{18 u - 27}{u^{3}}))

.

Nachdem der Flächeninhalt maximal werden sollte habe ich die erste Ableitung von

A (u)

gebildet.

A' (u) = - \frac{9 u^{2} + 99 u - 162}{u^{4}}

Dann

A' (u) = 0

(Dabei habe ich nur den Zähler nullgesetzt).

Ergebnis

u 1 = 2

und

u 2 = 9

. Da nur

u 2

die Bedingung erfüllt

u > 4

ist das das gesuchte Ergebnis.

Um den Flächeninhalt zu erhalten, dann einfach

u = 9

in die Funktion

A (u)

einsetzen (also

A (9))

.

Passt das so?

HAL9000

17:59 Uhr, 18.03.2025

Ja, passt. Eine Anmerkung zur Ableitung:

Da gibt es hier in Detail verschiedene Möglichkeiten, die auszurechnen. Z.B. kann man den Funktionsterm im Zähler zunächst komplett ausmultiplizieren, dann den Quotienten in mehrere Summanden aufteilen

A (u) = \frac{18 u^{2} - 99 u + 108}{2 u^{3}} = \frac{9}{u} - \frac{99}{2 u^{2}} + \frac{54}{u^{3}}

um das schließlich summandenweise abzuleiten (jeweils Potenzfunktionen):

A ´ (u) = - \frac{9}{u^{2}} + \frac{99}{u^{3}} - \frac{162}{u^{4}}

Geht hier vermutlich schneller als Produkt- und Quotientenregel. Aber wie gesagt, man kommt hier auf vielen Wegen zum Ziel.

EDIT: Da fällt mir gerade auf, in deiner Ableitung ist ein Schreibfehler, richtig ist

A ` (u) = \frac{- 9 u^{2} + 99 u - 162}{u^{4}}

, d.h., wenn du das Minus vor den Bruch schreiben willst, müsste es stattdessen

A ` (u) = - \frac{9 u^{2} - 99 u + 162}{u^{4}}

lauten. Da du aber richtig

u = 9

als Nullstelle rausbekommen hast, war es wohl doch nur ein (zwischenzeitlicher) Schreibfehler statt ein nachhaltiger inhaltlicher Fehler.

Golanos aktiv_icon

18:22 Uhr, 18.03.2025

Super danke auch für den Hinweis mit der Ableitung.

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