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Extremwertaufgabe Zylinder

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwert, Oberfläche, Volumen, Zylinder

Lunnu aktiv_icon

16:07 Uhr, 24.10.2009

Hallo Leute :-)

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen:

a .)

Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt 1dm^2
hat das größte Volumen?

Extrembed.

: V = Π \cdot r^{2} \cdot h

Nebenbed.

: 1 = 2 \cdot Π \cdot r \cdot h + 2 \cdot 2 \cdot Π \cdot r^{2}

b .)

Welches oben offene zylindrische Gefäß mit

1 l

Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?

Extrembed.

: O = 2 \cdot Π \cdot r \cdot h + 2 \cdot Π \cdot r^{2}

Nebenbed.

: 1000 (

cm^3

) = Π \cdot r^{2} \cdot h

so weit bin ich bei beiden Aufgaben gekommen. Nur leider schaff ichs nicht die Nebenbedinungen umzuformen und in die Extrembedingungen zu packen und steh da jetzt

n

bisschen auf dem Schlauch weil ich schon zu lange kein Mathe mehr hatte.

vielen Dank für jede Art von Hilfe im Vorraus :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Severshe aktiv_icon

17:03 Uhr, 24.10.2009

Hallo,

Zur

a)

Deine Nebenbedingung ist nicht ganz richtig.

(Der Flächeninhalt von einem Kreis ist:

A = π \cdot r^{2} \neq 2 \cdot π \cdot r^{2})

(Vieleicht nur ein Tipfehler in der

b

hast du es richtig gemacht)

So mit deiner Nebenbedingung kannst du jetzt

h

als Funktion von

r

ausdrücken

h = h (r)

Und in die Extrembed. einsetzten.

So dass aus

V (r, h) \to V (r)

Und jetzt suchst du das Maximum der Funktion

V (r)

.

zur

b)

An sich das gleiche in blau:

mit Hilfe der Nebenbedingung

h

durch

r

ausdrücken und in deine Extrembed. einsetzten.
Minimum finden.

Hoffe das Hilft weiter

Lunnu aktiv_icon

17:25 Uhr, 24.10.2009

Ja und genau da wären wir ja bei meinem PROBLEM

100 (

cm^2

) = Π \cdot r^{2} \cdot 2 + 2 \cdot Π \cdot r \cdot h

50 = Π \cdot r^{2} + Π \cdot r \cdot h

und wie forme ich jetzt nach

h

hin um??

Severshe aktiv_icon

17:45 Uhr, 24.10.2009

Ok ich zeig dir mal die erste und die zweite machst du dann:

Gleichungen:

I)

V = π \cdot r^{2} \cdot h

II) 1 dm^2

= 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 2 \cdot π \cdot r^{2}

II) nach

h

umformen (Ich lasse mal die Einheiten weg):

1 - 2 \cdot π \cdot r^{2} = 2 \cdot π \cdot r \cdot h

\Leftrightarrow h = \frac{1 - 2 \cdot π \cdot r^{2}}{2 \cdot π \cdot r}

in I) einsetzen:

V (r) = π \cdot r^{2} \cdot \frac{1 - 2 \cdot π \cdot r^{2}}{2 \cdot π \cdot r} = \frac{r}{2} - π \cdot r^{3}

dV/dr bilden:

V' (r) = \frac{1}{2} - 3 \cdot π \cdot r^{2} = 0

\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot π} = r^{2}

r = \pm \frac{1}{\sqrt{6 \cdot π}}

eigentlich macht nur das positive Sinn=>

r = \frac{1}{\sqrt{6 \cdot π}}

Das ganze kannst du jetzt in

h

einsetzen und du hast deinen Zylinder mit Maximalen Volumen.

So jetzt du die zweite Aufgabe ;-)

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