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Ganzrationale Funktion 3 Gerades bestimmen

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: 3. Gerades, Ganzrationale Funktionen

riverrock aktiv_icon

19:53 Uhr, 21.01.2014

Hallo,
ich habe folgende Hausaufgabe zu lösen.
Da wir das Thema noch überhaupt nicht angesprochen haben & wir einfach erstmal die Bedingungen aufstellen sollen,würde ich mich freuen,wenn ihr mir die Aufgabe lösen könntet.
Werde mir am Wochenende dazu mal Tutorials für genaueres Verständnis anschauen.

Bestimmen sie eine ganzrationale Funktion dritten Gerades,deren Graph in

P (\frac{1}{4})

einen Extrempunkt und in

Q (\frac{0}{2})

einen Wendepunkt hat.
Könntet ihr mir die Aufgabe bitte lösen & und falls es geht kurz erklären,was ich überhaupt machen muss.
Die Lösung wäre aber vorerst wichtiger.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gwunderi aktiv_icon

21:09 Uhr, 21.01.2014

Hallo Riverrock

Die allgemeine Form einer Gleichung 3. Grades ist erst mal:

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Zu den Bedingungen:
Bei einem Extrempunkt ist die 1. Ableitung = 0 (keine Steigung), und bei einem Wendepunkt ist die 2. Ableitung = 0. Also sind mal 2 Bedingungen:

f' (1) = 0

(Extrempunkt)

f ″ (0) = 0

(Wendepunkt)

Ferner können wir die zwei gegebenen Punkte in die obige Gleichung einsetzen, also:

f (1) = 4

f (0) = 2

Also erst mal die 1. und 2. Ableitung bilden, und dann die obigen Werte einsetzen. - Kannst Du mal die beiden Ableitungen bilden?

riverrock aktiv_icon

22:14 Uhr, 21.01.2014

Müsste doch

12 x^{2} + 8 x + 4 + d

im ersten Fall sein oder?
Bräuchte die Aufgabe für morgen früh

\frac{:}{}

Gwunderi aktiv_icon

00:14 Uhr, 22.01.2014

Nee, weiss nicht, wie Du auf diese Gleichung kommst.

Die Funktion ist ja

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

1. Ableitung:

f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

2. Ableitung:

f ″ (x) = 6 a x + 2 b

Beim Wendepunkt (also bei x=0) muss die 2. Ableitung = 0 sein.

f ″ (0) = 0 + 2 b = 0

b = 0

Bei x=0 ist der y-Wert = 2 (Wendepunkt 0/2):

f (0) = 0 + 0 + 0 + d = 2

d = 2

Haben wir also schon b=0 und d=2 - die Funktion ist also:

f (x) = a x^{3} + c x + 2

und die 1. Ableitung:

f' (x) = 3 a x^{2} + c

Bei x=1 (Extrempunkt) ist die 1. Ableitung = 0

f' (1) = 3 a + c = 0

c = - 3 a

Punkt (1/4) in die Funktion einsetzen:

f (1) = a + c + 2 = 4

a + c = 2

für c = -3a einsetzen:

a - 3 a = 2

- 2 a = 2

a = - 1

c = - 3 a = 3

Haben wir also: a = -1 / b = 0 / c = 3 / d = 2

Die Funktion lautet:

f (x) = - x^{3} + 3 x + 2

Bist natürlich SEHR früh dran und kommst bestimmt nicht mehr zum Nachvollziehen - ob es Dir also geholfen hat?

Grüsslein und gute Nacht, Gwunderi

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