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Herleitung e-Funktion und andere Probleme

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: e-Funktion, Eulersche Zahl, Exponentialfunktion

Merapheus aktiv_icon

16:13 Uhr, 02.12.2009

Hallo,
ich bin ein Studentin an der HS in Heidelberg.
Ich hab eine Frage zur Herleitung der E-Funktion. Im Internet kursieren viele Gerüchte über die Herleitung... Ich hab jedoch eine Seite gefunden, die mir sehr gut ausschaut.
http//matheraum.de/wissen/Herleitung-e?source=1

Kann mir 1. jemand sagen, ob diese Herleitung stimmt? Wenn ja sie mir noch genauer erläutern?

Meine 2. Frage lautet:
Exponentialfunktionen haben doch die Form

f (x) = a^{x}

Wieso setzten wir jedoch im Normalfall statt a die eulerische Zahl

(2,718 ...)

ein??

EDIT:
Ist ein Grund, weil der

ln e = 1

ergibt??

MFG und bitte helft mir

: (

Julia

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

16:55 Uhr, 02.12.2009

der ansatz ist auf jeden fall richtig.. wenn wir zuersteinmal eine beliebige exponentialfunktion nehmen, haben wir das:

f (x) = a^{x},

wobei a aus den reellen zahlen stammt.

der differenzenquotient dieser funktion mit der h-methode ist ja:

\frac{a^{x + h} - a^{x}}{h} = \frac{(a^{h} - 1) a^{x}}{h}

bei der h-methode lässt man ja das

h

unendlich klein werden, um im grenzwert die ableitung zu erhalten.

man sucht also nun ein

a,

für welches der grenzwert mit

h \to 0

von

\frac{a^{h} - 1}{h} = 1

wird.

ich bezweifle ein wenig, dass das folgende nun ganz mathematisch korrekt wird, aber weiter:

\frac{a^{h} - 1}{h} = 1

a^{h} - 1 = h

a^{h} = 1 + h

a = {(1 + h)}^{\frac{1}{h}}

wenn jetzt das

h

unendlich klein wird, bekommt man eine zahl für a raus, so dass beim ableiten eine 1 vor der exponentialfunktion steht.

und wenn man nun noch sagt: ein zähler gegen 0 entspricht ja irgendwo auch einem nenner gegen unendlich.

sei der kehrwert von

\frac{1}{h} = n

dann entspricht

h \to 0

nämlich

n \to \infty

wenn wir das einsetzen erhalten wir:

a = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

und das zweite: es ist genau der grund. die ableitung von

a^{x}

ist nämlich

ln a \cdot a^{x}

und das ist einfach ein unnötiger faktor.
dazu kommt, dass in allen möglichen anwendungen die e-funktion auftritt.

Merapheus aktiv_icon

17:16 Uhr, 02.12.2009

erstmal danke:

wie kommst du auf folgendes:

der differenzenquotient dieser funktion mit der h-methode ist ja:

ax+h-axh=(ah-1)axh

hagman aktiv_icon

17:17 Uhr, 02.12.2009

Der Weblink erscheint mir zweifelhaft, da es relativ umständlich ist, den Ausdruck

a^{x}

für irrationale

x

überhauopt zu definieren, bevor man die Exponentialfunktion zur Verfügung hat.
Dementsprechend ist, was da gesagt wird, eher von der Qualität "Hand-Waving", auch wenn es letztlich doch stimmt.

Formal schöner (aber halt eigentlich erst im Nachhinein möglich) ist es, die Existenz einer Funktion

e x p : ℝ \to ℝ

zu zeigen mit

e x p' = e x p

und

e x p (0) = 1

. Dann beobachtet man, dass hieraus

e x p (x + y) = e x p (x) \cdot e x p (y)

folgt, was die Schreibweise

e^{x} := e x p (x)

mit

e := e x p (1)

motiviert. Dann, also wenn man diese Multiplikativität und Ableitungseigenschaft hat, wird das Argument auf der Webseite einigermaßen stringent.
Man kann aber auch

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

binomial entwickeln und zeigen, dass dies gegen

\sum \frac{1}{k!}

geht, was gerade

e x p (1)

ist (denn von

e x p

kann man zeigen, dass

e x p (x) = \sum \frac{x^{k}}{k!}

.

Nachdem man

e x p

hat, kann man Funktionen

f_{c}

der Form

x \mapsto e x p (c \cdot x)

betrachten. Diese erfüllen ebenfalls

f_{c} (x + y) = f_{c} (x) \cdot f_{c} (y),

aber es gilt diesmal f_c(1)=exp(c). Dies motiviert dann, hierfür

a^{x}

zu schreiben mit

a := e x p (c)

. Das funkitoniert dann mit jedem

a \in ℝ,

für das man ein

c \in ℝ

finden kann; das ist genau für

a > 0

der Fall

(\in

der Tat ist

e x p : ℝ \to ℝ_{> 0}

bijektiv, so dass eine mit

ln

bezeichnete Umkehrfunktion

ℝ_{> 0} \to ℝ

existiert). Mit anderen Worten, ich bevorzuge es

a^{x}

zu *definieren* als

e x p (x \cdot ln (a))

.

Unter allen Funktionen

f_{c}

ist

f_{1} = e x p

die Schönste, weil sie eben mit ihrer Ableitung übereni stimmt.

anonymous

17:20 Uhr, 02.12.2009

für differenzenquotienten mal herleitung der ableitung anschauen.

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{(x + h) - h}

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