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Integration/Stammfunktion/ Funktionsschar

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beziehung, Flächeninhalt, Funktionsschar, Integration, Stammfunktion

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15:50 Uhr, 25.05.2016

Hallo ihr lieben,

ich bräuchte mal eure Hilfe bei einer Aufgabe.

Diese lautet:

Die Graphen der Funktionsscharen

f_{a} (x) = a \cdot x {(x - 4)}^{2}; x \in ℝ

und

g_{k} (x) = k \cdot x (x - 4)

schließen mit der y-Achse Flächen ein.
Welche Beziehungen muss zwischen a und

k

bestehen, damit die Inhalte gleich sind?

Die stammfunktionen der beiden Funktionsscharen sind, so fern sie richtig sind:

F_{a} (x) = \frac{1}{4} \cdot a \cdot x^{4} - \frac{8}{3} \cdot a \cdot x^{3} + 8 \cdot a \cdot x^{2}

F_{k} (x) = \frac{1}{3} \cdot k \cdot x^{3} - 2 \cdot k \cdot x^{2}

Aber wie komme ich nun weiter?
ICh ahbe schon überlegt, beide Stammfunktionen gleichzustellen, allerdings funktioniert das ja nicht, da ich sowohl

x

als auch a und

k

habe.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

16:14 Uhr, 25.05.2016

1)

Da ist wohl nicht die y-Achse gemeint, sondern die x-Achse, oder?

2)

Es ist zu klären, ob der orientierte Flächeninhalt gemeint ist.

3)

Die Integrale sind richtig und der nächste Schritt ist die Bestimmung der Integralgrenzen. Die werden wohl bei den Schnittpunkten der Graphen mit der begrenzenden Achse (die, wie ich in

1)

vermute die x-Achse ist) zu finden sein. Die Werte sind eigentlich direkt aus der Angabe abzulesen.

Du könntest dir ja einmal ein paar der

f -

und g-Graphen plotten lassen. Beachte, dass a und

k

auch negativ sein können.

R

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19:56 Uhr, 25.05.2016

Ja genau, ich meinte die x-achse.

Ich habe nun als erstes die Nullstellen bestimmt, welche sind:

x_{01} = 0

x_{02} = 4

Anschließend habe ich beide Gleichungen gleichgestellt und für

x = 1

eingesetzt.
Das ganze habe ich dann ausgerechnet und heruas kommt:

9 \cdot a = - 3 \cdot k

Als Schlussfolgerung habe ich schließlich, dass

g_{k} (x)

das

- 3

fache von

f_{a} (x)

ist und der Flächeninhalt der beiden Funktionsschare dann gleich groß ist, wenn gilt:

\int_{0}^{4} f_{a} (x) d x = - 3 \cdot \int_{0}^{4} g_{k} (x)

Ist das so richtig oder habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?

Respon

20:22 Uhr, 25.05.2016

\int_{0}^{4} a \cdot x \cdot {(x - 4)}^{2} d x = \frac{64 \cdot a}{3}

\int_{0}^{4} k \cdot x \cdot (x - 4) d x = (-) \frac{32 \cdot k}{3}

\Rightarrow k = 2 \cdot a

rundblick aktiv_icon

20:55 Uhr, 25.05.2016

.
" ⇒k=2⋅a "

na ja, Respon, aber da solltest du vielleicht noch etwas gründlicher nachdenken

. .

.

.

poufie aktiv_icon

21:04 Uhr, 25.05.2016

Das verstehe ich ja soweit alles, und mit dem classpad komme ich auch auf genau dieselbe Lösung- nur der Rechenweg fehlt mir. Wenn ich das per Hand mache, kommt bei mir eine komplett andere Lösung raus!

Respon

21:08 Uhr, 25.05.2016

Deine Stammfunktionen sind korrekt.

(. .

. und was RB meint; es muss

k = - 2 \cdot a

sein )

poufie aktiv_icon

21:40 Uhr, 25.05.2016

Ahh, vielen lieben Dank euch!

Habe nun auch die richtige Lösung raus- weiß zwar nicht, wo genau ich mich vertüdelt habe, aber nun hab ich ja das richtige Ergebnis- und das wichtigste: ich hab es verstanden.

Vielen Dank für eure Hilfe! :-)

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